Exercício 1.4 Avalie as seguintes integrais invertendo primeiro a ordem de integração.
integral0^3 integralx^2^9 x^3 e^y^3 d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede pra inverter a ordem de integração. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como mudar os limites de integração quando a gente troca a ordem das variáveis. O enunciado é:
integral0^3 integralx^2^9 x^3 e^y^3 , dy , dx

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano XY. O x varia de 0 a 3, e para cada x, y varia de x^2 a 9. Isso significa que a região está abaixo de y = 9 e acima de y = x^2.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos determinar como x varia em termos de y. Observando a região:
  • y varia de 0 (quando x = 0) até 9.
  • Para um valor fixo de y, x varia de 0 até raizy (pois y = x^2 implica x = raizy).

Passo 4

Com isso, a integral invertida fica:
integral0^9 integral0^raizy x^3 e^y^3 , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a x. Como e^y^3 não depende de x, podemos tratá-lo como uma constante:
integral0^raizy x^3 e^y^3 , dx = e^y^3 integral0^raizy x^3 , dx

Passo 6

Calculando a integral de x^3 em relação a x:
integral x^3 , dx = x^44 + C
Aplicando os limites de 0 a raizy:
(raizy)^44 - 0^44 = y^24

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
e^y^3 cdot y^24 = y^2 e^y^34
Então, a integral agora é:
integral0^9 y^2 e^y^34 , dy

Passo 8

Vamos sair da constante fora:
14 integral0^9 y^2 e^y^3 , dy

Passo 9

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição u = y^3. Assim:
du = 3y^2 , dy implies du3 = y^2 , dy
Quando y = 0, u = 0. Quando y = 9, u = 9^3 = 729.

Passo 10

Substituindo na integral:
14 cdot 13 integral0^729 e^u , du = 112 [ e^u ]0^729

Passo 11

Calculando os limites:
112 (e^729 - e^0) = 112 (e^729 - 1)

Resposta

A integral avaliada é:
e^729 - 112

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