Exercício 1.4 Avalie as seguintes integrais invertendo primeiro a ordem de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede pra inverter a ordem de integração. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como mudar os limites de integração quando a gente troca a ordem das variáveis. O enunciado é:
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano XY. O
varia de 0 a 3, e para cada
,
varia de
a 9. Isso significa que a região está abaixo de
e acima de
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos determinar como
varia em termos de
. Observando a região:
-
varia de 0 (quando ) até 9. - Para um valor fixo de
, varia de 0 até (pois implica ).
Passo 4
Com isso, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, podemos tratá-lo como uma constante:
Passo 6
Calculando a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Então, a integral agora é:
Passo 8
Vamos sair da constante fora:
Passo 9
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição
. Assim:
Quando
,
. Quando
,
.
Passo 10
Substituindo na integral:
Passo 11
Calculando os limites:
Resposta
A integral avaliada é: