Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
f(x)=x^2 em[0, infty).

Passo 1

Resumo: temos a função f(x)=x² no intervalo [0,∞). O objetivo é verificar se f é limitada acima ou abaixo e se atinge máximo ou mínimo nesse intervalo. Vamos precisar lembrar das definições de cota superior (supremo), cota inferior (ínfimo), máximo e mínimo de uma função.

Passo 2

Para ver se f tem cota inferior, note que pra todo x em [0,∞) vale
x^2>= 0
Isso mostra que f(x) nunca fica abaixo de 0, ou seja, 0 é uma cota inferior de f.
Como f é contínua em [0,∞) e f(0)=0, concluímos que
inf[0,infty)f = 0
e esse valor é atingido em x=0, logo f tem mínimo igual a 0.

Passo 3

Agora, para cota superior, observe o comportamento quando x cresce:
limxtoinftyx^2 = infty
Portanto, f não fica limitada acima por nenhum número real e não existe supremum finito.
Logo não há valor máximo de f em [0,∞).

Resposta

f é limitada inferiormente (ínfimo 0) e atinge o mínimo f(0)=0; não é limitada superiormente e, portanto, não tem máximo.

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