Exercício 1.4 Avalie as seguintes integrais invertendo primeiro a ordem de integração.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 raizx^4+1 d x d y.

Passo 1

Estamos avaliando a integral dupla
integral0^8integralraiz[3]y^2raizx^4+1,dx,dy
e queremos inverter a ordem de integração. O conteúdo envolve duplas integrais e troca de ordem de integração em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região de integração D no plano (x,y). Pelos limites originais temos
0<= y<= 8, raiz[3]y<= x<= 2
A condição x>=raiz[3]y equivale a y<= x^3. E como x<=2 e y>=0, a região D também pode ser descrita por
0<= x<= 2, 0<= y<= x^3

Passo 3

Reescrevendo a integral trocando a ordem, integramos primeiro em y e depois em x:
integral0^2integral0^x^3raizx^4+1,dy,dx

Passo 4

Como raizx^4+1 não depende de y, a integral interna é simples:
integral0^x^3raizx^4+1,dy =raizx^4+1;y|0^x^3 = x^3raizx^4+1
Então a dupla integral vira
integral0^2x^3raizx^4+1,dx

Passo 5

Para calcular integral0^2x^3raizx^4+1,dx, usamos a substituição
u = x^4+1, du = 4x^3,dx
de modo que x^3,dx = du/4. Quando x=0, u=1; quando x=2, u=17. Assim:
integral0^2x^3raizx^4+1,dx =14integral1^17raizu,du =14cdot23,u^3/2|1^17 =16l(17^3/2-1r) =17raiz17-16

Resposta

17raiz17-16

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