Considerando a, b e c constantes reais, verifique se y é uma solução da edo dada.
y=a e^2 t+b e^3 t+c e^-t, com equação y^prime prime prime-4 y^prime prime+y^prime+6 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a EDO y''' - 4y'' + y' + 6y = 0 e propõe a função y = a e^2t + b e^3t + c e^-t. O conteúdo é EDO linear homogênea de coeficientes constantes; vamos verificar substituindo as derivadas.

Passo 2

Calcular as derivadas de y:
y' = 2a e^2t + 3b e^3t - c e^-t,
y'' = 4a e^2t + 9b e^3t + c e^-t,
y''' = 8a e^2t + 27b e^3t - c e^-t

Passo 3

Substituir em y''' - 4y'' + y' + 6y e agrupar por expoentes:
y''' - 4y'' + y' + 6y = (8a - 16a + 2a + 6a)e^2t + (27b - 36b + 3b + 6b)e^3t + (-c - 4c - c + 6c)e^-t

Passo 4

Verificar que cada coeficiente anula:
8a - 16a + 2a + 6a = 0,
27b - 36b + 3b + 6b = 0,
-c - 4c - c + 6c = 0.

Passo 5

Como todos são zero, o lado esquerdo da EDO é zero, logo a função satisfaz a equação.

Resposta

Sim, y = a e^2t + b e^3t + c e^-t é solução da EDO dada.

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