Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
. (Assumimos novamente
.)
Passo 1
O enunciado define uma função por partes
no intervalo
e pede para ver se f é limitada acima/abaixo e se atinge máximo e mínimo mesmo sem continuidade ou intervalo fechado.
Passo 2
Primeiro vamos calcular os valores de f em pontos críticos do intervalo:
- Em
vale - Em
usamos , logo - Em
e estamos no ramo constante, logo
Passo 3
Para verificar limites, note que em
temos
e em
temos
pois
. Logo
. Por outro lado,
em todo
e
. Assim
ou seja, f é limitada superior e inferiormente.
Passo 4
Para achar o supremo calculamos
versus
:
Essa diferença é ≥0 se e somente se
- Se
- Se
Passo 5
Para o ínfimo precisamos ver onde
é menor:
- Se
, então e implica está no ramo . Logo é o menor valor e é atingido. - Se
, o ramo existe, mas , então o menor valor de em é como . Fica , mas não há ponto com (não é atingido). - Se
, o ramo não alcança nenhum ponto do intervalo, então em todo intervalo. Aí , atingido em todo .
Resposta
A função f é limitada inferiormente e superiormente em
.
O supremo e máximo são
– Mais precisamente:
• Se , então
, atingido em
.
• Se , então
, atingido em qualquer
.
–
• Se
• Se
O ínfimo e mínimo/infimum são
– Se ,
, atingido em
.
– Se ,
, mas não é atingido (apenas é infimum).
– Se ,
, atingido em todo
.
– Se
– Se
– Se