Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
llx^2, & x= a em [-a-1, a+1]. (Assumimos novamente a>-1.)

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)=x^2,&x= a no intervalo [-a-1,,a+1] e pede para ver se f é limitada acima/abaixo e se atinge máximo e mínimo mesmo sem continuidade ou intervalo fechado.

Passo 2

Primeiro vamos calcular os valores de f em pontos críticos do intervalo:
  • Em x=-a-1< a vale f(-a-1)=(-a-1)^2=(a+1)^2
  • Em xto a^- usamos x^2, logo f(a^-)=a^2
  • Em x=a e x=a+1 estamos no ramo constante, logo f(a)=f(a+1)=a+2

Passo 3

Para verificar limites, note que em x temos x^2>=0 e em x>= a temos a+2>1 pois a>-1. Logo f(x)>=0. Por outro lado, x^2<=(a+1)^2 em todo [-a-1,a+1] e a+2<=max(a+1)^2,a+2. Assim 0<= f(x)<=max(a+1)^2,a+2, ou seja, f é limitada superior e inferiormente.

Passo 4

Para achar o supremo calculamos (a+1)^2 versus a+2:
(a+1)^2-(a+2)=a^2+a-1
Essa diferença é ≥0 se e somente se a>=(raiz5-1)/2. Logo
- Se a>(raiz5-1)/2, sup f=(a+1)^2, atingido em x=-a-1 (que satisfaz -a-1).
- Se -1< a<=(raiz5-1)/2, sup f=a+2, atingido em qualquer x>= a.

Passo 5

Para o ínfimo precisamos ver onde f é menor:
  1. Se a>0, então 0in[-a-1,a+1] e 0 implica 0 está no ramo x. Logo f(0)=0 é o menor valor e é atingido.
  2. Se -1/2< a<=0, o ramo x existe, mas 0not< a, então o menor valor de x^2 em [-a-1,a) é a^2 como xto a^-. Fica inf f=a^2, mas não há ponto com f(x)=a^2 (não é atingido).
  3. Se -1< a<=-1/2, o ramo x não alcança nenhum ponto do intervalo, então f(x)equiv a+2 em todo intervalo. Aí inf f=sup f=a+2, atingido em todo x.

Resposta

A função f é limitada inferiormente e superiormente em [-a-1,a+1].
O supremo e máximo são
sup f=max(a+1)^2,,a+2 Mais precisamente:
• Se a>(raiz5-1)/2, então sup f=(a+1)^2, atingido em x=-a-1.
• Se -1< a<=(raiz5-1)/2, então sup f=a+2, atingido em qualquer x>= a.
O ínfimo e mínimo/infimum são
– Se a>0, inf f=0, atingido em x=0.
– Se -1/2< a<=0, inf f=a^2, mas não é atingido (apenas é infimum).
– Se -1< a<=-1/2, inf f=sup f=a+2, atingido em todo x.

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