Determine os valores de alpha de modo que y seja uma solução da edo dada.
y=alphat^2-3 e y^prime+t y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quais valores de alpha fazem com que a função y = alphat^2 - 3 seja uma solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada: y' + t y^2 = 0. Vamos usar conceitos de derivada e substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a t. A função é y = alphat^2 - 3, então para derivar isso, vamos usar a regra da derivada de uma função do tipo uv:
y' = ddt(alphat^2 - 3) = 0 cdot (t^2 - 3) - alpha cdot 2t(t^2 - 3)^2 = -2alpha t(t^2 - 3)^2

Passo 3

Agora que temos y', vamos substituir y e y' na EDO: y' + t y^2 = 0.
Substituindo:
-2alpha t(t^2 - 3)^2 + t (alphat^2 - 3)^2 = 0

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
-2alpha t(t^2 - 3)^2 + t cdot alpha^2(t^2 - 3)^2 = 0
Como os denominadores são iguais, podemos unir os numeradores:
-2alpha t + alpha^2 t(t^2 - 3)^2 = 0
Para que essa fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
-2alpha t + alpha^2 t = 0
Fatorando t e alpha:
t alpha (-2 + alpha) = 0

Passo 5

A equação t alpha (-2 + alpha) = 0 deve ser verdadeira para todo t. Como t pode variar (não é sempre zero), a única maneira disso acontecer é se -2 + alpha = 0. Assim:
-2 + alpha = 0 implies alpha = 2

Resposta

alpha = 2

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