Determine os valores de alpha de modo que y seja uma solução da edo dada.
y=alphat+2 e y^prime-t y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A gente precisa encontrar os valores de alpha para que a função y = alphat + 2 seja uma solução da EDO dada: y' - t y^2 = 0. Para isso, vamos seguir passo a passo e usar um pouco de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser solução de uma EDO. Basicamente, substituindo a função y na equação, ela deve satisfazer a igualdade. Ou seja, ao calcular a derivada de y e substituir na EDO, a igualdade deve ser verdadeira.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y = alphat + 2 em relação a t. Sabemos que a derivada de 1t + 2 é -1(t + 2)^2, então:
y' = ddt(alphat + 2) = alpha cdot (-1(t + 2)^2) = -alpha(t + 2)^2

Passo 4

Agora, vamos substituir y e y' na EDO y' - t y^2 = 0:
-alpha(t + 2)^2 - t (alphat + 2)^2 = 0

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
-alpha(t + 2)^2 - t cdot alpha^2(t + 2)^2 = 0
Colocando os termos com denominador comum:
-alpha + t alpha^2(t + 2)^2 = 0
Para essa fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:
-alpha - t alpha^2 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1:
alpha + t alpha^2 = 0

Passo 6

Fatorando alpha:
alpha (1 + t alpha) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
  1. alpha = 0
  2. 1 + t alpha = 0
Vamos analisar cada caso.

Passo 7

  1. Se alpha = 0, então y = 0, que é uma solução trivial da EDO.
  2. Se 1 + t alpha = 0, então alpha = -1t. No entanto, isso faria com que alpha dependesse de t, o que não é possível já que alpha é uma constante.
Portanto, a única solução válida é alpha = 0.

Resposta

O valor de alpha que faz com que y = alphat + 2 seja solução da EDO y' - t y^2 = 0 é boxed0.

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