Determine os valores de
de modo que
seja uma solução da edo dada.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). A gente precisa encontrar os valores de
para que a função
seja uma solução da EDO dada:
. Para isso, vamos seguir passo a passo e usar um pouco de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser solução de uma EDO. Basicamente, substituindo a função
na equação, ela deve satisfazer a igualdade. Ou seja, ao calcular a derivada de
e substituir na EDO, a igualdade deve ser verdadeira.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Sabemos que a derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na EDO
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Colocando os termos com denominador comum:
Para essa fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero:
Podemos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 6
Fatorando
:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Vamos analisar cada caso.
Passo 7
- Se
, então , que é uma solução trivial da EDO. - Se
, então . No entanto, isso faria com que dependesse de , o que não é possível já que é uma constante.
Portanto, a única solução válida é
.
Resposta
O valor de
que faz com que
seja solução da EDO
é
.