Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
.
Passo 1
O enunciado define a função f em [0,1] por
E pede para decidir se f é limitada acima/abaixo e se assume valor máximo ou mínimo. Vamos usar conceitos de supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro vendo a faixa de valores de f. Se x é irracional, f(x)=0. Se x é racional p/q irredutível, então q≥1 e 1/q≤1. Logo para todo x em [0,1] vale
Assim f é limitada abaixo (por 0) e acima (por 1).
Passo 3
Para o ínfimo: como f(x)=0 sempre que x é irracional e existem irracionais em [0,1], temos
E esse valor é realmente alcançado (por exemplo em qualquer x irracional). Portanto f tem mínimo igual a 0.
Passo 4
Para o supremo: o maior valor possível de 1/q ocorre quando q=1, ou seja f=1. Isso acontece em x=0 (0/1) e em x=1 (1/1). Logo
E f assume esse valor nesses pontos. Portanto f tem máximo igual a 1.
Resposta
f é limitada inferiormente (por 0) e superiormente (por 1); possui mínimo f(x)=0 (atingido em qualquer irracional) e máximo f(x)=1 (atingido em x=0 e x=1).