Dada a edo com o pvi
A edo admite uma solução para este pvi? a solução é única?
Passo 1
O enunciado apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem com uma condição inicial específica:
– EDO:
.
– Condição inicial: , com
e
.
– Condição inicial:
O problema envolve o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem. Para resolver, verificaremos se a função que define
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas em uma vizinhança do ponto
.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a EDO na forma explícita:
Para que
esteja bem definida, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
-
e (devido ao termo ). -
(para evitar divisão por zero).
Passo 3
Em seguida, verificamos as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf ao redor do ponto
:
-
é contínua em e , pois em temos , e . Isso garante que tanto o numerador quanto o denominador são finitos e não nulos. - A derivada parcial
também é composta de funções elementares (incluindo , polinômios e divisões) e não apresenta singularidades no ponto considerado. Portanto, ela é contínua em uma vizinhança de .
Passo 4
Como ambas as condições de continuidade (de
e de
) são válidas em uma vizinhança de
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma solução local para o PVI que satisfaz
, e essa solução é única nesse intervalo.
Passo 5
Portanto, o PVI admite uma solução, e essa solução é localmente única de acordo com o Teorema de Picard–Lindelöf.
Resposta
O PVI possui solução local em torno de
, e essa solução é única por satisfazer as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade.