Dada a edo com o pvi
(1-x^2-y^2) d y-(ln |x y|) d x=0, y(1)=2 / 3 e x neq 0 e y neq 0
A edo admite uma solução para este pvi? a solução é única?

Passo 1

O enunciado apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem com uma condição inicial específica:
– EDO: .
– Condição inicial: , com e .
O problema envolve o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem. Para resolver, verificaremos se a função que define e sua derivada parcial em relação a são contínuas em uma vizinhança do ponto .

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a EDO na forma explícita:
dydx = f(x,y) = ln|xy|1 - x^2 - y^2
Para que esteja bem definida, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
  1. e (devido ao termo ).
  2. (para evitar divisão por zero).

Passo 3

Em seguida, verificamos as hipóteses do Teorema de Picard–Lindelöf ao redor do ponto :
  1. é contínua em e , pois em temos , e . Isso garante que tanto o numerador quanto o denominador são finitos e não nulos.
  2. A derivada parcial também é composta de funções elementares (incluindo , polinômios e divisões) e não apresenta singularidades no ponto considerado. Portanto, ela é contínua em uma vizinhança de .

Passo 4

Como ambas as condições de continuidade (de e de ) são válidas em uma vizinhança de , o Teorema de Existência e Unicidade garante que existe uma solução local para o PVI que satisfaz , e essa solução é única nesse intervalo.

Passo 5

Portanto, o PVI admite uma solução, e essa solução é localmente única de acordo com o Teorema de Picard–Lindelöf.

Resposta

O PVI possui solução local em torno de , e essa solução é única por satisfazer as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade.

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