Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
llx, & x racional 0, & x irracional em [0, a].

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,a]toR definida por f(x)=x se x for racional e f(x)=0 se x for irracional, e pede limites superior e inferior e se o supremo (máximo) e ínfimo (mínimo) são assumidos.

Passo 2

Para todo xin[0,a] temos (0\le f(x), since rationals give x>=0 and irrationals give 0, and also f(x)<= x<= a. Portanto 0<= f(x)<= a, o que mostra que f é limitada inferiormente por 0 e superiormente por a.

Passo 3

Da desigualdade 0<= f(x)<= a concluímos que inf f=0 e sup f=a.

Passo 4

Para verificar se o ínfimo 0 é atingido, note que f(0)=0 (já que 0 é racional) e qualquer irracional também dá f(x)=0. Logo o mínimo 0 é de fato assumido.

Passo 5

Para verificar se o supremo a é atingido, precisamos de um xin[0,a] racional com f(x)=x=a. Isso só ocorre se a for racional. Se ainQ, então f(a)=a e o máximo é atingido. Se anotinQ, não há x com f(x)=a, logo o supremo não é atingido.

Resposta

f é limitada inferiormente por 0 e superiormente por a; o ínfimo 0 é sempre atingido (por exemplo em x=0); o supremo a é atingido (máximo) se e somente se a for racional.

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