Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
se
for racional e
se
for irracional, e pede limites superior e inferior e se o supremo (máximo) e ínfimo (mínimo) são assumidos.
Passo 2
Para todo
temos (0\le f(x), since rationals give
and irrationals give
, and also
. Portanto
, o que mostra que
é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 3
Da desigualdade
concluímos que
e
.
Passo 4
Para verificar se o ínfimo
é atingido, note que
(já que
é racional) e qualquer irracional também dá
. Logo o mínimo
é de fato assumido.
Passo 5
Para verificar se o supremo
é atingido, precisamos de um
racional com
. Isso só ocorre se
for racional. Se
, então
e o máximo é atingido. Se
, não há
com
, logo o supremo não é atingido.
Resposta
f é limitada inferiormente por 0 e superiormente por a; o ínfimo
é sempre atingido (por exemplo em
); o supremo
é atingido (máximo) se e somente se
for racional.