Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que
pode ter essas propriedades mesmo se
não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
em
.
Passo 1
O exercício dá a função
definida por
se
é irracional, e
se
é racional em forma irredutível. Precisamos decidir se
é limitada superior e inferiormente em
e se assume seu máximo e mínimo.
Passo 2
Note que, para todo
:
- Se
é irracional, . - Se
é racional irredutível , então e (f(x)=-1/q\in[-1,0).
Portanto todos os valores deficam no intervalo .
Passo 3
Como para todo
temos
, a função é limitada superiormente por 1.
Passo 4
Há infinitos números irracionais em
, então existe
irracional tal que
. Logo o valor máximo
é atingido.
Passo 5
Como para todo
temos
, a função é limitada inferiormente por
.
Passo 6
Os únicos racionais com
em forma irredutível são
e
, e nesses pontos
. Logo
também é atingido.
Resposta
A função é limitada tanto superior como inferiormente em [0,1]; assume seu máximo
em qualquer ponto irracional e assume seu mínimo
em
e
.