Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
ll1, & x racional -1 / q, & x=p / q irredutível í em [0,1].

Passo 1

O exercício dá a função f:[0,1]toR definida por
f(x)=1 se x é irracional, e f(x)=-1/q se x=p/q é racional em forma irredutível. Precisamos decidir se f é limitada superior e inferiormente em [0,1] e se assume seu máximo e mínimo.

Passo 2

Note que, para todo xin[0,1]:
  • Se x é irracional, f(x)=1.
  • Se x é racional irredutível p/q, então q>=1 e (f(x)=-1/q\in[-1,0).
    Portanto todos os valores de f ficam no intervalo [-1,1].

Passo 3

Como para todo x temos f(x)<=1, a função é limitada superiormente por 1.

Passo 4

Há infinitos números irracionais em [0,1], então existe x irracional tal que f(x)=1. Logo o valor máximo sup f=1 é atingido.

Passo 5

Como para todo x temos f(x)=-1/q>=-1, a função é limitada inferiormente por -1.

Passo 6

Os únicos racionais com q=1 em forma irredutível são 0=0/1 e 1=1/1, e nesses pontos f(x)=-1. Logo inf f=-1 também é atingido.

Resposta

A função é limitada tanto superior como inferiormente em [0,1]; assume seu máximo 1 em qualquer ponto irracional e assume seu mínimo -1 em x=0 e x=1.

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