Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=x^2 / y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = x^2y
Esse é um caso típico de equação separável, em que podemos separar e em lados opostos e depois integrar.

Passo 2

Começamos escrevendo y,dy = x^2,dx e separando as variáveis: multiplicamos ambos os lados por , obtendo

Passo 3

Agora integramos dos dois lados:
integral y,dy = integral x^2,dx
Isso dá
y^22 = x^33 + K
onde é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos a expressão inteira por 2 e reescrevemos a constante:
y^2 = 2,x^33 + C
em que definimos , ainda um parâmetro arbitrário.

Passo 5

Por fim, isolamos y(x) = pmraiz2,x^33 + C, , lembrando que a raiz pode ser positiva ou negativa:

Resposta

A solução geral é
y^2 = 23,x^3 + C
ou, de forma explícita,
y(x) = pmraiz23,x^3 + C,
com constante arbitrária.

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