Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime+y=5 sen(2 t)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear y′+y=5
sen(2t). O conteúdo é ODE linear de coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Para começar, identificamos o coeficiente de y em y′+y=5
sen(2t) que é 1. O fator integrante é μ(t)=e^{∫1
dt}=e^t. Multiplicamos toda a equação por μ(t) para obter uma forma exata:
Em bloco:
ddtl(e^t yr)=5e^tsin(2t)
Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 3

Calculamos a integral do lado direito. Usando a fórmula integral e^atsin(bt),dt=tfrace^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r) com a=1 e b=2, temos:
Em bloco:
integral 5e^tsin(2t),dt =5cdote^t1^2+2^2l(1sin(2t)-2cos(2t)r)+C = e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)+C

Passo 4

Então de ddt(e^t y)=5e^tsin(2t) obtemos
e^t y = e^t(sin(2t)-2cos(2t))+C
Finalmente, isolamos y dividindo por e^t.

Passo 5

Isolando y surge a solução geral
y(t)=sin(2t)-2cos(2t)+Ce^-t,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(t)=\sin(2t)-2\cos(2t)+Ce^{-t}

Exercícios relacionados