Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear y′+y=5
sen(2t). O conteúdo é ODE linear de coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
sen(2t). O conteúdo é ODE linear de coeficientes constantes e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Para começar, identificamos o coeficiente de y em y′+y=5
sen(2t) que é 1. O fator integrante é μ(t)=e^{∫1
dt}=e^t. Multiplicamos toda a equação por μ(t) para obter uma forma exata:
Em bloco:
sen(2t) que é 1. O fator integrante é μ(t)=e^{∫1
dt}=e^t. Multiplicamos toda a equação por μ(t) para obter uma forma exata:
Em bloco:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados em relação a t.
Passo 3
Calculamos a integral do lado direito. Usando a fórmula
com a=1 e b=2, temos:
Em bloco:
Em bloco:
Passo 4
Então de
obtemos
Finalmente, isolamos y dividindo por e^t.
Passo 5
Isolando y surge a solução geral
onde C é constante arbitrária.
Resposta
y(t)=\sin(2t)-2\cos(2t)+Ce^{-t}