Para cada uma das seguintes funções, decida quais são limitadas superior ou inferiormente no intervalo indicado, e quais assumem seu valor máximo ou mínimo. (Note que f pode ter essas propriedades mesmo se f não for contínua, e mesmo se o intervalo não for um intervalo fechado.)
f(x)=[x] em [0, a].

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função f(x)=[x] (parte inteira de x) definida no intervalo [0,a]. Vamos decidir se f é limitada superior e/​ou inferiormente nesse intervalo e também verificar se ela atinge mínimo e máximo.

Passo 2

Como x está em [0,a], todo x>=0. A partir da definição de parte inteira temos [x]>=0. Isso mostra que f(x) é limitada inferiormente por 0. Além disso, como 0in[0,a], existe ponto (por exemplo x=0) em que f(x)=0, então o valor mínimo existe e vale 0.

Passo 3

Para ver o limite superior, note que para todo x<= a vale [x]<=[a]. Logo f(x) é limitada superiormente por [a]. Agora, como [a] também pertence a [0,a] (basta tomar x=[a] que está entre 0 e a), a função atinge esse valor, ou seja, o máximo existe e é [a].

Resposta

A função é limitada inferiormente por 0 e superiormente por [a]. O valor mínimo é 0, atingido em x=0, e o valor máximo é [a], atingido em x=[a].

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