Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime=(cos ^2(x))(cos ^2(y))

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial y' = cos^2(x),cos^2(y). Isso cai em equações diferenciais de variáveis separáveis: vamos separar x e y e depois integrar.

Passo 2

Em equações separáveis, a ideia é escrever y' = dydx = f(x),g(y) e depois reorganizar para ter todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Aqui f(x)=cos^2(x) e g(y)=cos^2(y).
Dividindo ambos os lados por cos^2(y) e multiplicando por dx, obtemos
1cos^2(y),dy = cos^2(x),dx

Passo 3

Repare que 1/cos^2(y)=sec^2(y). Então vamos integrar os dois lados:
integral sec^2(y),dy = integral cos^2(x),dx

Passo 4

No lado esquerdo usamos a primitiva de sec^2(y), que é tan(y). Então
integral sec^2(y),dy = tan(y)

Passo 5

No lado direito usamos a identidade cos^2(x)=tfrac1+cos(2x)2. Assim
integral cos^2(x),dx = integral 1+cos(2x)2,dx = x2 + sin(2x)4 + C

Passo 6

Igualando as duas integrais, ficamos com
tan(y) = x2 + sin(2x)4 + C

Passo 7

Por fim, isolamos y aplicando a função inversa arctan:
y(x) = arctanl(x2 + sin(2x)4 + Cr)

Resposta

y(x) = arctanl(tfracx2 + tfracsin(2x)4 + Cr)

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