Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
. (Considere como contra domínio o intervalo
).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- determinar o domínio de
; - determinar o conjunto imagem (range) de
; - verificar se
é invertível; - se for invertível, determinar a inversa
.
Foi indicado explicitamente que o contra-domínio (codomain) considerado é
. Também temos a definição usual da raiz quadrada como a raiz principal (não negativa).
Passo 2
Encontrar o domínio: para que
esteja definida nos reais, o radicando deve ser não-negativo. Portanto devemos resolver a desigualdade
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Logo o domínio é o intervalo
]
Passo 3
Entender o que é o conjunto imagem (range): é o conjunto de valores efetivamente assumidos por
quando
percorre o domínio. Como a raiz principal produz sempre valores não-negativos, qualquer valor de
satisfaça
Assim a imagem está contida em
. Precisamos mostrar agora que todo
é atingido por algum
do domínio (para provar que a imagem é exatamente
).
Passo 4
Provar que para todo
existe
tal que
.
Dado
, considere
Então
(porque
), logo
pertence ao domínio. Avaliando
neste
:
onde usamos que
quando
. Portanto todo
é realmente atingido. Conclusão:
ou seja, a imagem coincide com o contra-domínio dado.
Passo 5
Verificar injetividade (uma-para-um): suponha que
com
. Então
As duas raízes à esquerda são não-negativas, então podemos elevar ao quadrado mantendo equivalência:
Subtraindo
obtemos
. Assim
é injetiva.
Passo 6
Verificar sobrejetividade no contra-domínio dado: já demonstramos no Passo 4 que para todo
existe
com
. Logo
é sobrejetiva quando o contra-domínio é
.
Sendo injetiva e sobrejetiva (bijetiva) entre
e o contra-domínio
,
é invertível.
Passo 7
Determinar a inversa: para encontrar
resolvemos
para
em função de
. Elevando ao quadrado (observando que
):
Portanto a inversa como função de
é
. Se preferir usar a variável usual
para a inversa, escrevemos
Passo 8
Verificação rápida das composições para confirmar:
As identidades se mantêm nos domínios corretos, confirmando que
está correta.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Invertível: sim (bijetiva entre e
)
Inversa: com
Imagem:
Invertível: sim (bijetiva entre
Inversa: