Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f(x)=\sqrt{x+1}. (Considere como contra domínio o intervalo [0,+\infty) ).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\sqrt{x+1} e pede:
  • determinar o domínio de f;
  • determinar o conjunto imagem (range) de f;
  • verificar se f é invertível;
  • se for invertível, determinar a inversa f^{-1}.
Foi indicado explicitamente que o contra-domínio (codomain) considerado é [0,+\infty). Também temos a definição usual da raiz quadrada como a raiz principal (não negativa).

Passo 2

Encontrar o domínio: para que \sqrt{x+1} esteja definida nos reais, o radicando deve ser não-negativo. Portanto devemos resolver a desigualdade
x+1 \ge 0.
Subtraindo 1 dos dois lados obtemos
x \ge -1.
Logo o domínio é o intervalo
\text{Dom}(f)=\[-1,+\infty).]

Passo 3

Entender o que é o conjunto imagem (range): é o conjunto de valores efetivamente assumidos por f(x) quando x percorre o domínio. Como a raiz principal produz sempre valores não-negativos, qualquer valor de f(x) satisfaça
f(x)=\sqrt{x+1}\ge 0.
Assim a imagem está contida em [0,+\infty). Precisamos mostrar agora que todo y\ge 0 é atingido por algum x do domínio (para provar que a imagem é exatamente [0,+\infty)).

Passo 4

Provar que para todo y\in[0,+\infty) existe x\in\text{Dom}(f) tal que f(x)=y.
Dado y\ge 0, considere
x = y^2 - 1.
Então x\ge -1 (porque y^2\ge 0), logo x pertence ao domínio. Avaliando f neste x:
f(x)=\sqrt{(y^2-1)+1}=\sqrt{y^2}=y,
onde usamos que \sqrt{y^2}=y quando y\ge 0. Portanto todo y\ge 0 é realmente atingido. Conclusão:
\text{Im}(f)=[0,+\infty),
ou seja, a imagem coincide com o contra-domínio dado.

Passo 5

Verificar injetividade (uma-para-um): suponha que f(a)=f(b) com a,b\in\text{Dom}(f). Então
\sqrt{a+1}=\sqrt{b+1}.
As duas raízes à esquerda são não-negativas, então podemos elevar ao quadrado mantendo equivalência:
a+1=b+1.
Subtraindo 1 obtemos a=b. Assim f é injetiva.

Passo 6

Verificar sobrejetividade no contra-domínio dado: já demonstramos no Passo 4 que para todo y\in[0,+\infty) existe x\in\text{Dom}(f) com f(x)=y. Logo f é sobrejetiva quando o contra-domínio é [0,+\infty).
Sendo injetiva e sobrejetiva (bijetiva) entre \text{Dom}(f)=[-1,+\infty) e o contra-domínio [0,+\infty), f é invertível.

Passo 7

Determinar a inversa: para encontrar f^{-1} resolvemos y=\sqrt{x+1} para x em função de y. Elevando ao quadrado (observando que y\ge 0):
y^2=x+1 \quad\Rightarrow\quad x=y^2-1.
Portanto a inversa como função de y é f^{-1}(y)=y^2-1. Se preferir usar a variável usual x para a inversa, escrevemos
f^{-1}(x)=x^2-1,\qquad \text{com domínio }[0,+\infty)\text{ e imagem }[-1,+\infty).í

Passo 8

Verificação rápida das composições para confirmar:
f(f^{-1}(y))=\sqrt{(y^2-1)+1}=\sqrt{y^2}=y\quad\text{para }y\ge 0,
f^{-1}(f(x))=(\sqrt{x+1})^2-1=x+1-1=x\quad\text{para }x\ge -1.
As identidades se mantêm nos domínios corretos, confirmando que f^{-1} está correta.

Resposta

Domínio: [ -1,+\infty )
Imagem: [0,+\infty)
Invertível: sim (bijetiva entre [ -1,+\infty ) e [0,+\infty))
Inversa: f^{-1}(x)=x^2-1 com \text{Dom}(f^{-1})=[0,+\infty)

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