Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f:[-1,5] \rightarrow[0,6] ; f(x)=|x+1|.

Passo 1

O enunciado fornece a função f:[-1,5]\to[0,6] definida por f(x)=|x+1| e pede:
  • determinar o domínio;
  • determinar o conjunto imagem (a imagem/alcance efetivo de f);
  • verificar se a função é invertível;
  • se for invertível, determinar a inversa.
Informações dadas:
  • domínio declarado: [-1,5];
  • contradomínio declarado: [0,6];
  • fórmula: f(x)=|x+1|.

Passo 2

Entendendo a função valor absoluto de forma intuitiva. A definição do valor absoluto é:
|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui t=x+1. Para saber qual ramo da definição vale, precisamos ver o sinal de x+1 para x no domínio [-1,5].]

Passo 3

Avaliar o mínimo e máximo de x+1 no domínio [-1,5].
\text{Para } x=-1:\quad x+1 = -1+1 = 0.
\text{Para } x=5:\quad x+1 = 5+1 = 6.
Como x varia de -1 até 5, x+1 varia de 0 até 6. Em particular, para todo x\in[-1,5] temos x+1\ge 0. Portanto sempre usamos o ramo |x+1| = x+1 neste domínio.

Passo 4

Concluir a forma simplificada da função no domínio:
\text{Para todo } x\in[-1,5],\quad f(x)=|x+1|=x+1.
Isso é uma reta com coeficiente angular 1, ou seja, uma função afim crescente.

Passo 5

Determinar a imagem (conjunto de valores efetivamente atingidos). Como f(x)=x+1 e x assume todos os valores entre -1 e 5, então f(x) assume todos os valores entre
f(-1)=(-1)+1=0 \qquad\text{e}\qquad f(5)=5+1=6.
Além disso, para qualquer y com 0\le y\le 6 podemos resolver
y = x+1 \quad\Longrightarrow\quad x = y-1,
e observar que se y\in[0,6] então x=y-1\in[-1,5]. Assim todos os valores de [0,6] são atingidos. Logo a imagem é
\mathrm{Im}(f)=[0,6].

Passo 6

Verificar injetividade (condição para ser invertível). Uma função é injetiva quando valores distintos de entrada dão valores distintos de saída. Para x_1,x_2\in[-1,5],
x_1<x_2 \quad\implies\quad x_1+1 < x_2+1 \quad\implies\quad f(x_1)<f(x_2).
Logo f é estritamente crescente em [-1,5] e, portanto, injetiva.

Passo 7

Verificar sobrejetividade em relação ao contradomínio dado. O contradomínio declarado no enunciado é [0,6]. Pelo Passo 5 mostramos que a imagem real de f é exatamente [0,6]. Isso significa que f é sobrejetiva quando vista como função f:[-1,5]\to[0,6].

Passo 8

Concluir bijetividade e encontrar a inversa. Como f é injetiva e sobrejetiva (bijetiva), ela é invertível. Para achar a inversa resolvemos y=f(x)=x+1 para x:
y = x+1 \quad\Longrightarrow\quad x = y-1.
Portanto a inversa é a função
f^{-1}:[0,6]\to[-1,5],\qquad f^{-1}(y)=y-1.

Passo 9

Verificação rápida das composições (para ficar seguro): para y\in[0,6],
f\big(f^{-1}(y)\big)=f(y-1)=|(y-1)+1|=|y|=y,
já que y\ge 0. E para x\in[-1,5],
f^{-1}\big(f(x)\big)=f^{-1}(x+1)=(x+1)-1=x.
As composições retornam as entradas, confirmando que a fórmula de f^{-1} está correta.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=[-1,5]
\mathrm{Im}(f)=[0,6]
f é invertível: sim (bijetiva)
f^{-1}:[0,6]\to[-1,5],\quad f^{-1}(y)=y-1

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