Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
e pede:
- determinar o domínio;
- determinar o conjunto imagem (a imagem/alcance efetivo de
); - verificar se a função é invertível;
- se for invertível, determinar a inversa.
Informações dadas:
- domínio declarado:
; - contradomínio declarado:
; - fórmula:
.
Passo 2
Entendendo a função valor absoluto de forma intuitiva. A definição do valor absoluto é:
Aqui
. Para saber qual ramo da definição vale, precisamos ver o sinal de
para
no domínio
.]
Passo 3
Avaliar o mínimo e máximo de
no domínio
.
Como
varia de
até
,
varia de
até
. Em particular, para todo
temos
. Portanto sempre usamos o ramo
neste domínio.
Passo 4
Concluir a forma simplificada da função no domínio:
Isso é uma reta com coeficiente angular
, ou seja, uma função afim crescente.
Passo 5
Determinar a imagem (conjunto de valores efetivamente atingidos). Como
e
assume todos os valores entre
e
, então
assume todos os valores entre
Além disso, para qualquer
com
podemos resolver
e observar que se
então
. Assim todos os valores de
são atingidos. Logo a imagem é
Passo 6
Verificar injetividade (condição para ser invertível). Uma função é injetiva quando valores distintos de entrada dão valores distintos de saída. Para
,
Logo
é estritamente crescente em
e, portanto, injetiva.
Passo 7
Verificar sobrejetividade em relação ao contradomínio dado. O contradomínio declarado no enunciado é
. Pelo Passo 5 mostramos que a imagem real de
é exatamente
. Isso significa que
é sobrejetiva quando vista como função
.
Passo 8
Concluir bijetividade e encontrar a inversa. Como
é injetiva e sobrejetiva (bijetiva), ela é invertível. Para achar a inversa resolvemos
para
:
Portanto a inversa é a função
Passo 9
Verificação rápida das composições (para ficar seguro): para
,
já que
. E para
,
As composições retornam as entradas, confirmando que a fórmula de
está correta.