Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
e pede, para essa função:
- Determinar o domínio.
- Determinar o conjunto imagem (o contradomínio efetivo).
- Verificar se a função é invertível.
- Se for invertível, encontrar a função inversa.
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
O que é domínio e como identificar aqui.
Definição rápida e prática: o domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define
faz sentido (está bem definida) no contexto das funções reais.
No nosso caso a expressão envolve
. A função exponencial
está definida para todo
— não há frações que possam zerar denominador, nem raízes de índice par que exijam não-negatividade, nem logaritmos com argumento positivo, etc. Portanto não há restrição.
Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é
.
Passo 3
Como achar a imagem (conjunto de valores
possíveis).
Observação-chave: para todo
vale
. Assim
também para todo
. Subtraindo 3 deslocamos todos os valores em 3 unidades para baixo.
Mais formal: porque
para
, então
e portanto
Também é útil ver os limites para entender extremos:
Como
se aproxima arbitrariamente de
por baixo (mas nunca atinge
), e cresce sem limite positivo, o conjunto imagem é o intervalo aberto à esquerda em
e aberto à direita em
.
Conclusão: a imagem é
.
Passo 4
Verificar se a função é injetora (parte essencial para ser invertível).
Definição prática:
é injetora se valores distintos de entrada produzem valores distintos de saída; isto é, se
então
.
Método 1 (derivada/monotonicidade): calcule a derivada
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em todo o domínio. Uma função estritamente crescente em
é injetora.
Método 2 (álgebra direta): suponha
. Então
A exponencial é injetora, logo
. Mesmo resultado.
Portanto
é injetora.
Passo 5
Verificar sobrejetividade (para decidir invertibilidade completa).
Lembrete: para que exista uma inversa função no sentido usual devemos ter bijetividade entre domínio e o conjunto onde queremos a inversa. Normalmente verificamos se
é bijetora como função de
sobre sua imagem. Já provamos que
é injetora; por construção,
é sobrejetora quando consideramos como contradomínio o seu conjunto imagem (cada valor de
é atingido por algum
). Assim
é bijetora.
Conclusão:
é invertível como função de
em
.
Passo 6
Encontrar a função inversa — passo a passo algébrico e justificativa de domínio da inversa.
Começamos escrevendo
:
Isolamos
:
Para obter
aplicamos o logaritmo natural (inverso de
):
Isso nos dá a expressão da inversa em termos de
. Para usar a notação usual da inversa trocamos a variável
por
(convencionalmente a inversa é uma função cujo argumento chamamos de
):
Agora a restrição de domínio da inversa: o argumento do
deve ser positivo, portanto precisamos
, o que equivale a
. Isso coincide com a imagem de
, como deveria.
Passo 7
Verificação rápida das composições (checagem da inversa).
Computando
:
válido para
.
Computando
:
válido para todo
.
As duas composições retornam a identidade nos domínios corretos, confirmando que a inversa está correta.
Passo 8
Resumo final e incentivo: recapitulando de forma direta e prática para você decorar para a prova — domínio é todos os reais, imagem é
, a função é estritamente crescente portanto invertível, e a inversa é o log natural do deslocamento/escala. Vai dar certo na prova — respira, revise esses passos e faça uns exercícios parecidos pra fixar!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Invertível: sim (é estritamente crescente e bijetora de em
)
Imagem:
Invertível: sim (é estritamente crescente e bijetora de
Inversa: