Para cada uma das seguintes funções determine o domínio, o conjunto imagem, verifique se a função é invertível e, se for, determine a inversa:
f(x)=2 e^{x}-3.

Passo 1

O enunciado fornece a função f dada por f(x)=2e^{x}-3 e pede, para essa função:
  • Determinar o domínio.
  • Determinar o conjunto imagem (o contradomínio efetivo).
  • Verificar se a função é invertível.
  • Se for invertível, encontrar a função inversa.
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita f(x)=2e^{x}-3. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que é domínio e como identificar aqui.
Definição rápida e prática: o domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (está bem definida) no contexto das funções reais.
No nosso caso a expressão envolve e^{x}. A função exponencial x\mapsto e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} — não há frações que possam zerar denominador, nem raízes de índice par que exijam não-negatividade, nem logaritmos com argumento positivo, etc. Portanto não há restrição.
Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os números reais, isto é \mathbb{R}.

Passo 3

Como achar a imagem (conjunto de valores y=f(x) possíveis).
Observação-chave: para todo x\in\mathbb{R} vale e^{x}>0. Assim 2e^{x}>0 também para todo x. Subtraindo 3 deslocamos todos os valores em 3 unidades para baixo.
Mais formal: porque e^{x}\in(0,\infty) para x\in\mathbb{R}, então 2e^{x}\in(0,\infty) e portanto
f(x)=2e^{x}-3\in(-3,\infty).
Também é útil ver os limites para entender extremos:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(2e^{x}-3)=-3, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(2e^{x}-3)=+\infty.
Como f(x) se aproxima arbitrariamente de -3 por baixo (mas nunca atinge -3), e cresce sem limite positivo, o conjunto imagem é o intervalo aberto à esquerda em -3 e aberto à direita em +\infty.
Conclusão: a imagem é ( -3,\infty ).

Passo 4

Verificar se a função é injetora (parte essencial para ser invertível).
Definição prática: f é injetora se valores distintos de entrada produzem valores distintos de saída; isto é, se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2.
Método 1 (derivada/monotonicidade): calcule a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(2e^{x}-3\big)=2e^{x}.
Como 2e^{x}>0 para todo x, a função é estritamente crescente em todo o domínio. Uma função estritamente crescente em \mathbb{R} é injetora.
Método 2 (álgebra direta): suponha f(x_1)=f(x_2). Então
2e^{x_1}-3=2e^{x_2}-3 \implies 2e^{x_1}=2e^{x_2}\implies e^{x_1}=e^{x_2}.
A exponencial é injetora, logo x_1=x_2. Mesmo resultado.
Portanto f é injetora.

Passo 5

Verificar sobrejetividade (para decidir invertibilidade completa).
Lembrete: para que exista uma inversa função no sentido usual devemos ter bijetividade entre domínio e o conjunto onde queremos a inversa. Normalmente verificamos se f é bijetora como função de \mathbb{R} sobre sua imagem. Já provamos que f é injetora; por construção, f é sobrejetora quando consideramos como contradomínio o seu conjunto imagem (cada valor de ( -3,\infty ) é atingido por algum x). Assim f:\mathbb{R}\to( -3,\infty ) é bijetora.
Conclusão: f é invertível como função de \mathbb{R} em ( -3,\infty ).

Passo 6

Encontrar a função inversa — passo a passo algébrico e justificativa de domínio da inversa.
Começamos escrevendo y=f(x):
y=2e^{x}-3.
Isolamos e^{x}:
y+3=2e^{x}\quad\Rightarrow\quad e^{x}=\frac{y+3}{2}.
Para obter x aplicamos o logaritmo natural (inverso de e^{(\cdot)}):
x=\ln\!\left(\frac{y+3}{2}\right).
Isso nos dá a expressão da inversa em termos de y. Para usar a notação usual da inversa trocamos a variável y por x (convencionalmente a inversa é uma função cujo argumento chamamos de x):
f^{-1}(x)=\ln\!\left(\frac{x+3}{2}\right).
Agora a restrição de domínio da inversa: o argumento do \ln deve ser positivo, portanto precisamos (x+3)/2>0, o que equivale a x>-3. Isso coincide com a imagem de f, como deveria.

Passo 7

Verificação rápida das composições (checagem da inversa).
Computando f(f^{-1}(x)):
f\big(f^{-1}(x)\big)=2\exp\!\left(\ln\!\left(\frac{x+3}{2}\right)\right)-3 =2\cdot\frac{x+3}{2}-3=x+3-3=x,
válido para x>-3.
Computando f^{-1}(f(x)):
f^{-1}\big(f(x)\big)=\ln\!\left(\frac{(2e^{x}-3)+3}{2}\right) =\ln\!\left(\frac{2e^{x}}{2}\right)=\ln(e^{x})=x,
válido para todo x\in\mathbb{R}.
As duas composições retornam a identidade nos domínios corretos, confirmando que a inversa está correta.

Passo 8

Resumo final e incentivo: recapitulando de forma direta e prática para você decorar para a prova — domínio é todos os reais, imagem é (-3,\infty), a função é estritamente crescente portanto invertível, e a inversa é o log natural do deslocamento/escala. Vai dar certo na prova — respira, revise esses passos e faça uns exercícios parecidos pra fixar!

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-3,\infty)
Invertível: sim (é estritamente crescente e bijetora de \mathbb{R} em (-3,\infty))
Inversa: f^{-1}(x)=\ln\!\left(\frac{x+3}{2}\right),\qquad x>-3

Exercícios relacionados