Questão 1. Considere o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+9 y=2 \sin (3 t) \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.
Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI, y(t). Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao valor de y(t), para t=\frac{\pi}{9} ?
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a y\left(\frac{\pi}{9}\right)=-\frac{\pi}{9}.
b) y\left(\frac{\pi}{9}\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{9}.
c y\left(\frac{\pi}{9}\right)=1-\frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{54}.
y\left(\frac{\pi}{9}\right)=1-\frac{\pi}{54}-\frac{\sqrt{3}}{9}.
e y\left(\frac{\pi}{9}\right)=-\frac{\pi}{54}.
f y\left(\frac{\pi}{9}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{54}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime\prime}+9y=2\sin(3t),\\[4pt] y(0)=2,\; y'(0)=-1, \end{array}\right.
e pede:
  • encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI y(t);
  • determinar qual das alternativas dadas é verdadeira para t=\dfrac{\pi}{9}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea: y^{\prime\prime}+9y=2\sin(3t).
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=-1.
  • Forçante é 2\sin(3t) (frequência angular 3).
  • Precisamos avaliar y em t=\dfrac{\pi}{9} usando a solução obtida.]

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e entender a estrutura da solução geral.
A homogênea é
y_h^{\prime\prime}+9y_h=0.
A equação característica é
r^2+9=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 3i.
Para raízes imaginárias \pm 3i, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação rápida: as raízes complexas a\pm bi geram soluções \mathrm{e}^{at}\cos(bt) e \mathrm{e}^{at}\sin(bt); aqui a=0 e b=3.

Passo 3

Escolher uma forma para a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, lembrando o fenômeno de ressonância.
A forçante é 2\sin(3t). Se a função-forçante fosse uma combinação de \cos(3t) e \sin(3t) com frequência 3, o palpite usual para y_p seria A\cos(3t)+B\sin(3t). No entanto, essas funções pertencem à solução homogênea y_h. Isso é ressonância: o palpite deve ser multiplicado por t. Logo adotamos
y_p(t)=t\bigl(a\cos(3t)+b\sin(3t)\bigr),
onde a e b são constantes a determinar.
Breve justificativa prática: multiplicar por t garante independência linear em relação às soluções homogêneas.

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' com cuidado (passo a passo).
Defina v(t)=a\cos(3t)+b\sin(3t). Então y_p=t\,v.
Calcule v' e v'':
v'(t)=-3a\sin(3t)+3b\cos(3t),
v''(t)=-9a\cos(3t)-9b\sin(3t).
Usando produto para derivadas:
y_p'=v+t v' = a\cos(3t)+b\sin(3t)+t\bigl(-3a\sin(3t)+3b\cos(3t)\bigr).
Derivando de novo:
y_p''=v'+v'+t v'' = 2v'(t)+t v''(t).
Substituindo v' e v'':
y_p''=2\bigl(-3a\sin(3t)+3b\cos(3t)\bigr)+t\bigl(-9a\cos(3t)-9b\sin(3t)\bigr).
Simplificando os coeficientes fora de t:
y_p''=-6a\sin(3t)+6b\cos(3t)+t\bigl(-9a\cos(3t)-9b\sin(3t)\bigr).

Passo 5

Substituir y_p em y''+9y e igualar à forçante para determinar a e b.
Compute y_p''+9y_p. Usando as expressões:
y_p''+9y_p=\bigl(-6a\sin(3t)+6b\cos(3t)\bigr) +t\bigl(-9a\cos(3t)-9b\sin(3t)\bigr) +9t\bigl(a\cos(3t)+b\sin(3t)\bigr).
Os termos com fator t cancelam porque
t\bigl(-9a\cos(3t)-9b\sin(3t)\bigr)+9t\bigl(a\cos(3t)+b\sin(3t)\bigr)=0.
Portanto sobra
y_p''+9y_p = -6a\sin(3t)+6b\cos(3t).
Deve-se igualar isso à forçante 2\sin(3t):
-6a\sin(3t)+6b\cos(3t)=2\sin(3t).
Igualando coeficientes de \cos(3t) e \sin(3t):
6b=0 \quad\Rightarrow\quad b=0,
-6a=2 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Escrever a solução particular e a solução geral da equação completa.
Com a=-\dfrac{1}{3} e b=0,
y_p(t)=t\left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right)=-\frac{t}{3}\cos(3t).
A solução geral da equação não-homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)-\frac{t}{3}\cos(3t).

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro avalie y(0). Como \cos(0)=1, \sin(0)=0 e o termo com t some em t=0,
y(0)=C_1=2 \quad\Rightarrow\quad C_1=2.
Agora calcule y'(t). Derivando
y'(t)=-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)-\Bigl(\frac{1}{3}\cos(3t)-\frac{t}{3}\cdot 3\sin(3t)\Bigr).
Detalhando a derivada do termo -\dfrac{t}{3}\cos(3t):
\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{t}{3}\cos(3t)\right) = -\left(\frac{1}{3}\cos(3t)+\frac{t}{3}(-3\sin(3t))\right) = -\frac{1}{3}\cos(3t)+t\sin(3t).
Portanto
y'(t)=-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)-\frac{1}{3}\cos(3t)+t\sin(3t).
Avalie em t=0: os termos com \sin(3t) e com t desaparecem, sobrando
y'(0)=3C_2-\frac{1}{3}.
A condição y'(0)=-1 fornece
3C_2-\frac{1}{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad 3C_2=-\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad C_2=-\frac{2}{9}.

Passo 8

Escrever a solução do PVI e simplificar se quiser.
Substituindo C_1=2 e C_2=-\dfrac{2}{9},
y(t)=2\cos(3t)-\frac{2}{9}\sin(3t)-\frac{t}{3}\cos(3t).
Esta é a solução do PVI.

Passo 9

Calcular y\!\left(\dfrac{\pi}{9}\right) usando valores trigonométricos exatos.
Temos 3t=3\cdot\dfrac{\pi}{9}=\dfrac{\pi}{3}. Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, e que \dfrac{t}{3} em t=\dfrac{\pi}{9} vale
\frac{t}{3}=\frac{\pi/9}{3}=\frac{\pi}{27},
então
y\!\left(\frac{\pi}{9}\right)=2\cdot\frac{1}{2}-\frac{2}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{27}\cdot\frac{1}{2}.
Simplificando cada termo:
2\cdot\frac{1}{2}=1,
-\frac{2}{9}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{9},
-\frac{\pi}{27}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{\pi}{54}.
Portanto
y\!\left(\frac{\pi}{9}\right)=1-\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{\pi}{54}.

Resposta

y\!\left(\dfrac{\pi}{9}\right)=1-\dfrac{\pi}{54}-\dfrac{\sqrt{3}}{9}

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