Questão 1. Considere o PVI
Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI,
. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao valor de
, para
?
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a
.
b)
.
c
.
□
.
e
.
f
.
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a
b)
c
□
e
f
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede:
- encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI
; - determinar qual das alternativas dadas é verdadeira para
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea:
. - Condições iniciais:
e . - Forçante é
(frequência angular ). - Precisamos avaliar
em usando a solução obtida.]
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e entender a estrutura da solução geral.
A homogênea é
A equação característica é
Para raízes imaginárias
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação rápida: as raízes complexas geram soluções
e
; aqui
e
.
Explicação rápida: as raízes complexas
Passo 3
Escolher uma forma para a solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, lembrando o fenômeno de ressonância.
A forçante é
. Se a função-forçante fosse uma combinação de
e
com frequência
, o palpite usual para
seria
. No entanto, essas funções pertencem à solução homogênea
. Isso é ressonância: o palpite deve ser multiplicado por
. Logo adotamos
onde
e
são constantes a determinar.
Breve justificativa prática: multiplicar por garante independência linear em relação às soluções homogêneas.
Breve justificativa prática: multiplicar por
Passo 4
Calcular
e
com cuidado (passo a passo).
Defina
. Então
.
Calcule
e
:
Usando produto para derivadas:
Derivando de novo:
Substituindo
e
:
Simplificando os coeficientes fora de
:
Passo 5
Substituir
em
e igualar à forçante para determinar
e
.
Compute
. Usando as expressões:
Os termos com fator
cancelam porque
Portanto sobra
Deve-se igualar isso à forçante
:
Igualando coeficientes de
e
:
Passo 6
Escrever a solução particular e a solução geral da equação completa.
Com
e
,
A solução geral da equação não-homogênea é
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro avalie
. Como
,
e o termo com
some em
,
Agora calcule
. Derivando
Detalhando a derivada do termo
:
Portanto
Avalie em
: os termos com
e com
desaparecem, sobrando
A condição
fornece
Passo 8
Escrever a solução do PVI e simplificar se quiser.
Substituindo
e
,
Esta é a solução do PVI.
Passo 9
Calcular
usando valores trigonométricos exatos.
Temos
. Sabendo que
e
, e que
em
vale
então
Simplificando cada termo:
Portanto