Para cada uma das seguintes funções f, encontre f^prime(f(x)) (não (f circ f)^prime(x) ).
f(x)=11+x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 11 + x
e pede para calcular f'(f(x)), ou seja, a derivada de f avaliada em f(x). Para resolver, primeiro vamos encontrar a expressão geral de f'(u) em uma variável genérica u, e depois substituir u = f(x).

Passo 2

Defina u como variável genérica e considere
f(u) = 11 + u
Para derivar, usamos a regra da potência e a regra da cadeia:
f(u) = (1 + u)^-1 Longrightarrow f'(u) = -1cdot(1 + u)^-2cdotddu(1+u) = -1(1+u)^2

Passo 3

Agora, para obter f'(f(x)), basta substituir u = f(x) na expressão acima:
f'(f(x)) = -1l(1 + f(x)r)^2

Passo 4

Substituímos f(x) = 11+x em 1 + f(x):
1 + f(x) = 1 + 11+x = (1+x) + 11+x = x+2,x+1,
Logo,
f'(f(x)) = -1l(x+2x+1r)^2 = -(x+1)^2(x+2)^2

Resposta

f'(f(x)) = -(x+1)^2(x+2)^2

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