Questão 4:(Vr. 4,0)
a) (Vr. 1,0 ponto) Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
f(x)=x1+x-2 x^2
b) (1,0 ponto) O pulso tringular unitário Lambda(t) é definida por
Lambda(t)=cc 0, & t<0 2 t, & 0<t<1 / 2 2-2 t, & 1 / 2<t<1 0, & t>1
Mostre que Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,1 / 2(tau)-Pi1 / 2,1(tau) d tau.
Calcule a transformada de Laplace de Lambda(t).
c) (1,0 ponto) Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule a integral imprópria :
integral0^infty arctg(alpha x)x(1+x^2) d x
d) ( 1,0 ponto) Suponha que X e Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros (alpha, gamma) e (beta, gamma), respectivamente. Calcule a densidade conjunta de U=X+Y e V=XX+Y. Obtenha as densidades marginais de U e V e a esperança de E[U] e de E[V].
Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos.

Passo 1

O enunciado tem quatro itens sobre séries de potência, transformada de Laplace, integração por parâmetro e transformação de variáveis em densidades conjuntas. Em cada parte vamos:
  • (a) usar frações parciais e séries conhecidas para expandir
  • (b) escrever Lambda'(t) em função de pulsos retangulares e depois calcular LLambda(s) por definição
  • (c) diferenciar em relação a alpha e usar integral padrão em x
  • (d) aplicar mudança de variáveis (X,Y)to(U,V), achar o jacobiano, obter densidades marginais e esperanças

Passo 2

Para a parte (a), note que
e que
Fazendo frações parciais, buscamos
Multiplicando em comum denominador:
Daí , logo

Passo 3

Agora expandimos cada termo em série de potência:
11-x=sumn=0^infty x^n(|x|<1), 11+2x=sumn=0^infty(-2)^n x^n(|x|<tfrac12)
Assim
f(x)=sumn=0^inftyl(tfrac13-tfrac13(-2)^nr)x^n =sumn=0^infty1-(-2)^n3,x^n,
e o raio de convergência é dado pela região comum |x|<tfrac12.

Passo 4

Na parte (b), definimos
Observamos que por derivação em
ou seja
Integrando de obtemos justamente .

Passo 5

Para a transformada de Laplace
LLambda(s) =integral0^infty e^-stLambda(t),dt =integral0^1/22t,e^-stdt +integral1/2^1(2-2t)e^-stdt
Calculando essas integrais e somando dá
LLambda(s) =2s^2l(1-2e^-s/2+e^-sr) =2s^2l(1-e^-s/2r)^2

Passo 6

Na parte (c), definimos
I(alpha)=integral0^inftyarctan(alpha x)x(1+x^2)dx
Diferenciando em alpha sob o sinal de integral:
I'(alpha) =integral0^inftypartialpartialalphal[arctan(alpha x)x(1+x^2)r]dx =integral0^infty1(1+alpha^2x^2)(1+x^2),dx =pi2(1+alpha)
Integramos em alpha e usamos I(0)=0:
I(alpha)=pi2ln(1+alpha)

Passo 7

Na parte (d), XsimGamma(alpha,gamma), YsimGamma(beta,gamma) independentes, com
fX(x)=x^alpha-1e^-x/gammaGamma(alpha)gamma^alpha, fY(y)=y^beta-1e^-y/gammaGamma(beta)gamma^beta
Fazemos a troca
U=X+Y, V=XX+Y,
então
x=Uv, y=U(1-v), l|det Jr|=U
Logo a densidade conjunta é
fU,V(u,v) =fX(uv),fYl(u(1-v)r),U =u^alpha+beta-1e^-u/gammaGamma(alpha)Gamma(beta)gamma^alpha+beta ,v^alpha-1(1-v)^beta-1,
para u>0, 0<v<1.

Passo 8

As densidades marginais seguem integrando em v e u:
fU(u) =integral0^1fU,V(u,v),dv =u^alpha+beta-1e^-u/gammaGamma(alpha+beta)gamma^alpha+beta,
ou seja UsimGamma(alpha+beta,gamma), e
fV(v) =integral0^infty fU,V(u,v),du =Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha)Gamma(beta),v^alpha-1(1-v)^beta-1,
ou seja VsimBeta(alpha,beta). As esperanças são
E[U]=(alpha+beta),gamma, E[V]=alphaalpha+beta

Resposta

(a)
f(x)=sumn=0^infty1-(-2)^n3,x^n, |x|<tfrac12
(b)
Lambda(t)=integral-infty^t2l[Pi0,1/2(tau)-Pi1/2,1(tau)r]dtau, LLambda(s)=2s^2l(1-e^-s/2r)^2
(c)
integral0^inftyarctan(alpha x)x(1+x^2)dx =pi2ln(1+alpha)
(d)
fU,V(u,v) =u^alpha+beta-1e^-u/gammaGamma(alpha)Gamma(beta)gamma^alpha+beta ,v^alpha-1(1-v)^beta-1,
fU(u)=u^alpha+beta-1e^-u/gammaGamma(alpha+beta)gamma^alpha+beta, fV(v)=Gamma(alpha+beta)Gamma(alpha)Gamma(beta)v^alpha-1(1-v)^beta-1,
E[U]=(alpha+beta)gamma, E[V]=alphaalpha+beta

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