Questão 4:(Vr. 4,0)
a) (Vr. 1,0 ponto) Represente a função abaixo como soma de uma série de potência e determine o intervalo de convergência
b) (1,0 ponto) O pulso tringular unitário é definida por
Mostre que Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,1 / 2(tau)-Pi1 / 2,1(tau) d tau.
Calcule a transformada de Laplace de Lambda(t).
c) (1,0 ponto) Utilizando a derivação pelo parâmetro, calcule a integral imprópria :
integral0^infty arctg(alpha x)x(1+x^2) d x
d) ( 1,0 ponto) Suponha que X e Y são variáveis aleatórias gama independentes com parâmetros (alpha, gamma) e (beta, gamma), respectivamente. Calcule a densidade conjunta de U=X+Y e V=XX+Y. Obtenha as densidades marginais de U e V e a esperança de E[U] e de E[V].
Justifique todas as suas respostas! Apresente seus cálculos.
Passo 1
O enunciado tem quatro itens sobre séries de potência, transformada de Laplace, integração por parâmetro e transformação de variáveis em densidades conjuntas. Em cada parte vamos:
(a) usar frações parciais e séries conhecidas para expandir
(b) escrever Lambda'(t) em função de pulsos retangulares e depois calcular LLambda(s) por definição
(c) diferenciar em relação a alpha e usar integral padrão em x
(d) aplicar mudança de variáveis (X,Y)to(U,V), achar o jacobiano, obter densidades marginais e esperanças