Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=x+yx-y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = x + yx - y,
que é homogênea (o quociente (x+y)/(x-y) depende só de y/x). Para resolver, usamos a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y=vx temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na EDO:
v + xdvdx = x + vxx - vx = 1+v1-v

Passo 3

Isolamos dv/dx:
xdvdx = 1+v1-v - v = 1+v - v + v^21-v = 1+v^21-v
Assim a equação separa-se em
1-v1+v^2,dv = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1-v1+v^2,dv = integral dxx
No lado esquerdo escrevemos
1-v1+v^2 = 11+v^2 - v1+v^2,
cuja integral é
integral dv1+v^2 - integral v,dv1+v^2 = arctan v - tfrac12ln(1+v^2)
No lado direito vem ln|x|. Logo
arctan v ;-;tfrac12ln(1+v^2) = ln|x| + C

Passo 5

Voltando a v = tfracyx, obtemos
arctan!l(yxr) - tfrac12ln!l(1+l(tfracyxr)^2r) = ln|x| + C
Usando ln(1+(y/x)^2)=ln(x^2+y^2)-2ln|x|, cancelam-se os ln|x| e chega-se à forma implícita mais simples:

Resposta

arctan!l(yxr) -tfrac12lnl(x^2 + y^2r) = C

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