Calcule o gradiente das seguintes funções
f(x, y)=cos (2 x) cos (3 y) senh(4 x)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=cos(2x),cos(3y),sinh(4x)
O gradiente é o vetor das derivadas parciais l(partial f/partial x,;partial f/partial yr). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para cada parcial.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x tratamos
f(x,y)=l(cos(2x)r),l(cos(3y)r),l(sinh(4x)r)
como produto de três fatores em x e y. Aplicando a regra do produto (fixando cos(3y) como constante) e a cadeia, temos
partial fpartial x =ddx[cos(2x)],cos(3y),sinh(4x) +cos(2x),cos(3y),ddx[sinh(4x)]
Como
ddx[cos(2x)]=-2sin(2x), ddx[sinh(4x)]=4cosh(4x),
segue
partial fpartial x =-2sin(2x)cos(3y)sinh(4x) +4cos(2x)cos(3y)cosh(4x)
Podemos fatorar cos(3y):
partial fpartial x =l(-2sin(2x)sinh(4x)+4cos(2x)cosh(4x)r)cos(3y)

Passo 3

Para partial f/partial y consideramos cos(2x)sinh(4x) como constante e diferenciamos cos(3y) por y:
partial fpartial y =cos(2x),sinh(4x),ddy[cos(3y)] =cos(2x),sinh(4x),(-3sin(3y)),
ou seja
partial fpartial y =-3cos(2x),sinh(4x),sin(3y)

Resposta

nabla f(x,y) =( l(-2sin(2x)sinh(4x)+4cos(2x)cosh(4x)r)cos(3y), ; -3cos(2x)sinh(4x)sin(3y) )

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