Para cada uma das seguintes funções, encontre a reta tangente e a reta normal nos pontos indicados.
em
e
Passo 1
A questão pede as retas tangente e normal à função f(x)=3−x nos pontos x₀=−2, 0 e 1. O conteúdo principal é derivada (para achar a inclinação da tangente) e geometria analítica de retas (forma ponto-inclinação).
Passo 2
A derivada de f dá a inclinação da reta tangente. Calculamos
Isso significa que em qualquer x₀ temos m_tangente=f’(x₀)=−1.
Passo 3
Para achar a reta tangente em x₀ usamos a forma ponto-inclinação:
Substituindo f’(x₀)=−1 e f(x₀)=3−x₀:
Reorganizando os termos chega-se à forma geral da tangente:
Passo 4
A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo recíproco de m_tangente. Como m_tangente=−1, temos:
Usando a mesma forma ponto-inclinação para a normal:
o que leva à expressão geral:
Resposta
Nos três pontos a reta tangente é sempre
y=−x+3
y=−x+3
Para a reta normal em cada x₀:
• x₀=−2: y=x+7
• x₀=0: y=x+3
• x₀=1: y=x+1
• x₀=−2: y=x+7
• x₀=0: y=x+3
• x₀=1: y=x+1