Para cada uma das seguintes funções, encontre a reta tangente e a reta normal nos pontos indicados.
f(x)=3-x em x=-2, x=0 e x=1

Passo 1

A questão pede as retas tangente e normal à função f(x)=3−x nos pontos x₀=−2, 0 e 1. O conteúdo principal é derivada (para achar a inclinação da tangente) e geometria analítica de retas (forma ponto-inclinação).

Passo 2

A derivada de f dá a inclinação da reta tangente. Calculamos
f(x)=3−x implies f'(x)=−1
Isso significa que em qualquer x₀ temos m_tangente=f’(x₀)=−1.

Passo 3

Para achar a reta tangente em x₀ usamos a forma ponto-inclinação:
y−f(x₀)=f'(x₀),(x−x₀)
Substituindo f’(x₀)=−1 e f(x₀)=3−x₀:
y−(3−x₀)=−1,(x−x₀)
Reorganizando os termos chega-se à forma geral da tangente:
y=−x+3

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o negativo recíproco de m_tangente. Como m_tangente=−1, temos:
mnormal=−1mtan>=nte=1
Usando a mesma forma ponto-inclinação para a normal:
y−f(x₀)=1,(x−x₀),
o que leva à expressão geral:
y=x+(3−2x₀)

Resposta

Nos três pontos a reta tangente é sempre
y=−x+3
Para a reta normal em cada x₀:
• x₀=−2: y=x+7
• x₀=0: y=x+3
• x₀=1: y=x+1

Exercícios relacionados