Para cada uma das seguintes funções, encontre os valores máximo e mínimo absoluto nos intervalos indicados.
f(x)=x+1x^2+1, [-1,1 / 2]

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=x+1x^2+1 e queremos encontrar o máximo e o mínimo absoluto no intervalo [-1,,1/2]. Vamos usar derivada para achar extremos internos e depois comparar com os valores nas fronteiras.

Passo 2

Para encontrar os extremos, calculamos a derivada usando a regra do quociente. Se u(x)=x+1 e v(x)=x^2+1, então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=(1)(x^2+1)-(x+1)(2x)(x^2+1)^2=-x^2-2x+1(x^2+1)^2.

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo o numerador igual a zero:
-x^2-2x+1=0Longrightarrow x^2+2x-1=0Longrightarrow x=-1pmraiz2

Passo 4

Apenas x0=-1+raiz2approx0.4142 está em [-1,1/2]. Agora avaliamos f em x=-1, x=1/2 e x=x0:
  • f(-1)=-1+1(-1)^2+1=0.
  • fl(1/2r)=1/2+1(1/2)^2+1=3/25/4=65=1.2.
  • f(x0)=( -1+raiz2)+1(-1+raiz2)^2+1=raiz24-2raiz2=1+raiz22approx1.2071.

Passo 5

Comparando os valores, o mínimo absoluto é 0 em x=-1 e o máximo absoluto é 1+raiz22 em x=-1+raiz2.

Resposta

Mínimo absoluto: 0 em x = -1; Máximo absoluto: 1+raiz22 em x = -1+\sqrt2.

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