Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral x^2+3 x+4(x-1)(x+2)(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2+3x+4(x-1)(x+2)(x+3),dx. É um exercício de frações parciais, então vamos decompor a função racional em termos simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Para começar, assumimos que
x^2+3x+4(x-1)(x+2)(x+3) = Ax-1 + Bx+2 + Cx+3
e vamos determinar as constantes A, B e C.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+2)(x+3) obtemos a identidade
x^2+3x+4 = A(x+2)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x+2)
Para achar A, B e C, usamos valores estratégicos de x.

Passo 4

Para x=1:
1^2+3cdot1+4 = 8 = A,(1+2)(1+3) = 12A implies A = tfrac23
Para x=-2:
(-2)^2+3(-2)+4 = 2 = B,(-2-1)(-2+3) = -3B implies B = -tfrac23
Para x=-3:
(-3)^2+3(-3)+4 = 4 = C,(-3-1)(-3+2) = 4C implies C = 1

Passo 5

Com esses valores, a decomposição final fica:
x^2+3x+4(x-1)(x+2)(x+3) = tfrac23x-1 - tfrac23x+2 + 1x+3
Logo a integral se transforma em soma de integrais simples.

Passo 6

Integrando termo a termo e lembrando que integral 1x-a,dx = ln|x-a|, temos:
integral x^2+3x+4(x-1)(x+2)(x+3),dx = 23ln|x-1| - 23ln|x+2| + ln|x+3| + C

Resposta

23ln|x-1| - 23ln|x+2| + ln|x+3| + C

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