Determine as integrais utilizando a técnica de frações parciais:
integral 3 x^2-21 x+31(x-2)(x-3)^2 d x

Passo 1

Estamos com a integral integral 3x^2-21x+31(x-2)(x-3)^2,dx e vamos usar a técnica de frações parciais, que consiste em decompor essa fração racional em somas de frações mais fáceis de integrar.

Passo 2

Para decompor, escrevemos
3x^2-21x+31(x-2)(x-3)^2 = Ax-2 + Bx-3 + C(x-3)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3)^2, obtemos a identidade
$$
3x^{2}-21x+31 = A(x-3)^{2} + B(x-2)(x-3) + C(x-2).
$$

Passo 3

Expandindo e agrupando termos semelhantes, chegamos ao sistema
A + B = 3, -6A -5B + C = -21, 9A +6B -2C = 31

Passo 4

Resolvendo esse sistema (por exemplo, de A+B=3 vem B=3-A e assim por diante) obtemos
A = 1, B = 2, C = -5

Passo 5

Com esses valores, a integral se separa em
integral 1x-2dx , + , integral 2x-3dx , -5integral 1(x-3)^2dx

Passo 6

Usando as fórmulas padrão integral 1x-adx = ln|x-a| e integral (x-a)^-2dx = -(x-a)^-1, temos
integral 1x-2dx = ln|x-2|, integral 2x-3dx = 2ln|x-3|, -5integral 1(x-3)^2dx = -5l(-1x-3r) = 5x-3

Passo 7

Somando essas partes e incluindo a constante de integração C, chegamos à antiderivada geral.

Resposta

ln|x-2| + 2ln|x-3| + 5x-3 + C

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