Teste a série para convergência ou divergência:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}.
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é \displaystyle a_k=\frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{k+1}.
  • Precisamos classificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Vamos primeiro considerar a série das magnitudes (para testar convergência absoluta). Defino
b_k = |a_k| = \frac{k!}{(2k-1)!}.
Explico o teste que vou usar: o Teste da razão (ou Teste de d’Alembert) diz que, se
L=\lim_{k\to\infty} \frac{b_{k+1}}{b_k}
existe e L<1, então a série \sum b_k converge absolutamente. Se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vamos calcular esse limite passo a passo.

Passo 3

Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{\dfrac{(k+1)!}{(2(k+1)-1)!}}{\dfrac{k!}{(2k-1)!}} = \frac{(k+1)!}{k!}\cdot\frac{(2k-1)!}{(2k+1)!}.
Agora simplifico fatorando os fatoriais grandes. Observe que
(2k+1)! = (2k+1)(2k)(2k-1)!.
Substituindo isso,
\frac{b_{k+1}}{b_k} = (k+1)\cdot\frac{(2k-1)!}{(2k+1)(2k)(2k-1)!} = \frac{k+1}{(2k)(2k+1)}.\

Passo 4

Simplifico a expressão obtida:
\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k+1}{2k(2k+1)} = \frac{k+1}{4k^{2}+2k}.
Calculo o limite quando k\to\infty. Uma maneira simples é dividir numerador e denominador por k:
\frac{k+1}{4k^{2}+2k} = \frac{1+\tfrac{1}{k}}{4k+2} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0.
Portanto
L=\lim_{k\to\infty}\frac{b_{k+1}}{b_k}=0.

Passo 5

Pelo Teste da razão, como L=0<1, a série \sum b_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{(2k-1)!} converge. Isso significa que a série original converge absolutamente (já que a soma dos valores absolutos converge). Lembre-se: “convergência absoluta” implica convergência (simples) — então a série dada converge e, mais fortemente, converge absolutamente.

Passo 6

Comentário pedagógico curto e encorajador: eu usei o Teste da razão porque os termos envolvem fatoriais — com fatoriais é quase sempre eficaz dividir b_{k+1} por b_k e cancelar fatores. Se você tivesse tentado o teste de Leibniz (alternância), teria dado certo também para mostrar convergência (já que os termos positivos vão a zero), mas o teste da razão mostra diretamente convergência absoluta, que é ainda mais forte. Bom trabalho por encarar isso — séries com fatoriais ficam bem tratáveis com o teste da razão!

Resposta

absolutamente convergente

Exercícios relacionados