Teste a série para convergência ou divergência:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O termo geral é \displaystyle a_k=\frac{(-1)^{k+1} k!}{(2 k-1)!}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{k+1}.
Precisamos classificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Vamos primeiro considerar a série das magnitudes (para testar convergência absoluta). Defino
b_k = |a_k| = \frac{k!}{(2k-1)!}.
Explico o teste que vou usar: o Teste da razão (ou Teste de d’Alembert) diz que, se
L=\lim_{k\to\infty} \frac{b_{k+1}}{b_k}
existe e L<1, então a série \sum b_k converge absolutamente. Se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui vamos calcular esse limite passo a passo.
Pelo Teste da razão, como L=0<1, a série \sum b_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{(2k-1)!} converge. Isso significa que a série original converge absolutamente (já que a soma dos valores absolutos converge). Lembre-se: “convergência absoluta” implica convergência (simples) — então a série dada converge e, mais fortemente, converge absolutamente.
Passo 6
Comentário pedagógico curto e encorajador: eu usei o Teste da razão porque os termos envolvem fatoriais — com fatoriais é quase sempre eficaz dividir b_{k+1} por b_k e cancelar fatores. Se você tivesse tentado o teste de Leibniz (alternância), teria dado certo também para mostrar convergência (já que os termos positivos vão a zero), mas o teste da razão mostra diretamente convergência absoluta, que é ainda mais forte. Bom trabalho por encarar isso — séries com fatoriais ficam bem tratáveis com o teste da razão!