Para cada uma das seguintes funções, obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro, e o respectivo raio de convergência ( \rho ): \cos ^{2} z, 0
Passo 1
O enunciado pede, para a função \cos^{2}z centrada em 0: obter a série de potências (a expansão em torno de 0) e o raio de convergência \rho.
Informações fornecidas: a função cuja série pedimos é \cos^{2}z e o centro é 0. Não há outras restrições.
Passo 2
Primeira observação útil (identidade trigonométrica): existe a identidade do ângulo duplo
\cos^{2}z=\frac{1+\cos(2z)}{2}.
Explicação rápida: isso vem da identidade \cos(2z)=\cos^{2}z-\sin^{2}z e de \sin^{2}z=1-\cos^{2}z; isolando \cos^{2}z obtemos a forma acima. Esta identidade é ótima porque transforma \cos^{2}z numa combinação linear de uma constante e de \cos(2z), cuja série conhecemos bem.
Passo 3
Recordando a série de Maclaurin (expansão em torno de 0) para o cosseno: para qualquer variável w,
Breve motivo: os termos ímpares desaparecem porque as derivadas ímpares de \cos em 0 são zero; as derivadas pares alternam sinal e têm magnitude (2n)!, levando exatamente a essa fórmula. Aqui n é um índice inteiro não-negativo, e (2n)! é o fatorial de 2n.
Passo 4
Substituímos w=2z na série de \cos w para obter a série de \cos(2z):
Como o somatório já tem o termo n=0 igual a 1, podemos combinar o termo constante \tfrac{1}{2} com \tfrac{1}{2}\cdot 1 do somatório, resultando numa série em potências pares de z com coeficientes explícitos. Escrevendo em forma de série única, observamos que só aparecem potências pares z^{2n}. Para n\ge 1 o coeficiente de z^{2n} é
(Isto foi obtido aplicando a fórmula de a_{n} para n=1,2,3: a_{1}=-1, a_{2}=1/3, a_{3}=-2/45, etc.)
Passo 7
Falta determinar o raio de convergência \rho. Observação: a série de \cos(2z) é a série de uma função inteira (o cosseno é inteiro), portanto converge para todo z\in\mathbb{C}; seu raio de convergência é infinito. Para mostrar isso de forma elementar usando teste da razão, considere o termo geral do somatório de \cos(2z):
t_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{2n}z^{2n}}{(2n)!}.
Calcule a razão entre termos consecutivos (módulos):
Ao fazer n\to\infty essa razão tende a 0 para qualquer z fixo, portanto a série converge absolutamente para todo z. Conclusão: o raio de convergência é infinito,