Para cada uma das seguintes funções, obtenha a respectiva série de potências, com o ponto dado como centro, e o respectivo raio de convergência ( \rho ):
\cos ^{2} z, 0

Passo 1

O enunciado pede, para a função \cos^{2}z centrada em 0: obter a série de potências (a expansão em torno de 0) e o raio de convergência \rho.
Informações fornecidas: a função cuja série pedimos é \cos^{2}z e o centro é 0. Não há outras restrições.

Passo 2

Primeira observação útil (identidade trigonométrica): existe a identidade do ângulo duplo
\cos^{2}z=\frac{1+\cos(2z)}{2}.
Explicação rápida: isso vem da identidade \cos(2z)=\cos^{2}z-\sin^{2}z e de \sin^{2}z=1-\cos^{2}z; isolando \cos^{2}z obtemos a forma acima. Esta identidade é ótima porque transforma \cos^{2}z numa combinação linear de uma constante e de \cos(2z), cuja série conhecemos bem.

Passo 3

Recordando a série de Maclaurin (expansão em torno de 0) para o cosseno: para qualquer variável w,
\cos w=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{w^{2n}}{(2n)!}.
Breve motivo: os termos ímpares desaparecem porque as derivadas ímpares de \cos em 0 são zero; as derivadas pares alternam sinal e têm magnitude (2n)!, levando exatamente a essa fórmula. Aqui n é um índice inteiro não-negativo, e (2n)! é o fatorial de 2n.

Passo 4

Substituímos w=2z na série de \cos w para obter a série de \cos(2z):
\cos(2z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2z)^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}z^{2n}}{(2n)!}.
Aqui cada termo é da forma (-1)^{n}2^{2n}z^{2n}/(2n)!.

Passo 5

Agora use a identidade do Passo 2:
\cos^{2}z=\frac{1+\cos(2z)}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}z^{2n}}{(2n)!}.
Como o somatório já tem o termo n=0 igual a 1, podemos combinar o termo constante \tfrac{1}{2} com \tfrac{1}{2}\cdot 1 do somatório, resultando numa série em potências pares de z com coeficientes explícitos. Escrevendo em forma de série única, observamos que só aparecem potências pares z^{2n}. Para n\ge 1 o coeficiente de z^{2n} é
\frac{1}{2}(-1)^{n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!},
e para n=0 o coeficiente (termo constante) vale
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1=1.

Passo 6

Portanto uma forma limpa da série é
\cos^{2}z=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{2n}, \qquad a_{0}=1, \qquad a_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\\ \text{para }n\ge 1.
Ou, escrevendo explicitamente os primeiros termos:
\cos^{2}z=1 - z^{2} + \frac{1}{3}z^{4} - \frac{2}{45}z^{6} + \cdots.
(Isto foi obtido aplicando a fórmula de a_{n} para n=1,2,3: a_{1}=-1, a_{2}=1/3, a_{3}=-2/45, etc.)

Passo 7

Falta determinar o raio de convergência \rho. Observação: a série de \cos(2z) é a série de uma função inteira (o cosseno é inteiro), portanto converge para todo z\in\mathbb{C}; seu raio de convergência é infinito. Para mostrar isso de forma elementar usando teste da razão, considere o termo geral do somatório de \cos(2z):
t_{n}=(-1)^{n}\frac{2^{2n}z^{2n}}{(2n)!}.
Calcule a razão entre termos consecutivos (módulos):
\left|\frac{t_{n+1}}{t_{n}}\right| =|z|^{2}\frac{2^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Ao fazer n\to\infty essa razão tende a 0 para qualquer z fixo, portanto a série converge absolutamente para todo z. Conclusão: o raio de convergência é infinito,
\rho=+\infty.

Resposta

\displaystyle \cos^{2}z=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{2n},\quad a_{0}=1,\quad a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{2^{2n-1}}{(2n)!}\\ \text{ para }n\ge1.
\displaystyle \text{Série (primeiros termos): }\cos^{2}z=1 - z^{2} + \tfrac{1}{3}z^{4} - \tfrac{2}{45}z^{6} + \cdots.é
\displaystyle \rho=+\infty.

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