Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
\sum_{k=0}^{\infty} k e^{-k} z^{k}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência \rho da série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} k e^{-k} z^{k}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os coeficientes da série são a_k = k e^{-k} para k\ge0.
  • Queremos o raio de convergência em torno de 0, ou seja o maior r\ge0 tal que a série converge para todo z com |z|<r.
  • Não há outros dados (como uma figura) — apenas a forma explícita dos coeficientes.

Passo 2

Apresento a ferramenta principal que vamos usar: a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência de uma série de potências \sum_{k=0}^\infty a_k z^k. A fórmula diz
\rho = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}}.
Explicando isso de forma simples: para séries de potências o comportamento assintótico das raízes k-ésimas dos coeficientes controla até que tamanho de |z| a série ainda se comporta como uma série geométrica e converge. O \limsup é usado porque nem sempre o limite existe, mas aqui existirá. Vou aplicar essa fórmula a a_k = k e^{-k}.

Passo 3

Calculo a k-ésima raiz do coeficiente:
|a_k|^{1/k} = (k e^{-k})^{1/k} = k^{1/k} \cdot e^{-1}.
Expliquei o passo: se |a_k|=k e^{-k} (todos positivos) então a raiz 1/k distribui-se no produto. A constante e^{-k} tem raiz (e^{-k})^{1/k}=e^{-1}.

Passo 4

Agora preciso do comportamento de k^{1/k} quando k\to\infty. Faço isso tomando logaritmo (técnica padrão para esse tipo de limite):
\ln\big(k^{1/k}\big)=\frac{\ln k}{k}.
Quando k\to\infty temos \ln k\to\infty mas mais lentamente que k, então \dfrac{\ln k}{k}\to 0. Consequentemente
\lim_{k\to\infty} k^{1/k} = e^{0}=1.
Portanto, a sequência |a_k|^{1/k} = k^{1/k}\,e^{-1} tende para e^{-1}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard com o resultado do passo anterior:
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = e^{-1}.
Logo o raio de convergência é
\rho = \frac{1}{e^{-1}} = e.
(Aqui poderia-se verificar por teste da razão também: \dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{k+1}{k}e^{-1}\to e^{-1}, que leva ao mesmo resultado.)

Resposta

\rho = e

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