Determine o raio de convergência (
) de cada uma das seguintes séries:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência
da série de potências
Informações dadas e observações imediatas:
- Os coeficientes da série são
para . - Queremos o raio de convergência em torno de
, ou seja o maior tal que a série converge para todo com . - Não há outros dados (como uma figura) — apenas a forma explícita dos coeficientes.
Passo 2
Apresento a ferramenta principal que vamos usar: a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência de uma série de potências
. A fórmula diz
Explicando isso de forma simples: para séries de potências o comportamento assintótico das raízes
-ésimas dos coeficientes controla até que tamanho de
a série ainda se comporta como uma série geométrica e converge. O
é usado porque nem sempre o limite existe, mas aqui existirá. Vou aplicar essa fórmula a
.
Passo 3
Calculo a
-ésima raiz do coeficiente:
Expliquei o passo: se
(todos positivos) então a raiz
distribui-se no produto. A constante
tem raiz
.
Passo 4
Agora preciso do comportamento de
quando
. Faço isso tomando logaritmo (técnica padrão para esse tipo de limite):
Quando
temos
mas mais lentamente que
, então
. Consequentemente
Portanto, a sequência
tende para
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard com o resultado do passo anterior:
Logo o raio de convergência é
(Aqui poderia-se verificar por teste da razão também:
, que leva ao mesmo resultado.)