Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
f(z)=z /[(z-1)(z-3)(z-5)] em torno de z_{0}=1^{; 103}

Passo 1

O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
f(z)=\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}
em torno do ponto z_{0}=1 e, em cada caso, especificar o anel (ou anéis) de convergência da expansão.
Informações dadas e observações imediatas: \n
  • A função tem polos simples em z=1, z=3 e z=5. \n
  • Como o centro é z_{0}=1, convém usar a mudança de variável \;w=z-1\; (então w=0 corresponde a z=1). \n
  • Haverá diferentes formas de série (diferentes anéis de convergência) dependendo da distância de w aos outros polos: os pontos distantes do centro estão a |w|=|3-1|=2 e |w|=|5-1|=4. Assim esperam-se, em geral, três anéis naturais: \;0<|w|<2\;,\;2<|w|<4\;,\;|w|>4\;. \n
    A resolução começa agora.

Passo 2

Fazer decomposição em frações simples (partial fractions). Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-3}+\frac{C}{z-5}.
Multiplicando por (z-1)(z-3)(z-5) obtemos
z = A(z-3)(z-5)+B(z-1)(z-5)+C(z-1)(z-3).
Avalie em z=1,3,5 para achar A,B,C:
\begin{aligned} z=1:&\quad 1 = A(-2)(-4)=8A \Rightarrow A=\tfrac{1}{8},\\\ z=3:&\quad 3 = B(2)(-2)=-4B \Rightarrow B=-\tfrac{3}{4},\\\ z=5:&\quad 5 = C(4)(2)=8C \Rightarrow C=\tfrac{5}{8}. \end{aligned}
Logo a decomposição é
\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{z-1}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{z-3}+\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{z-5}.

Passo 3

Passe para a variável w=z-1. Então z=1+w e as frações tornam-se
\frac{1}{z-1}=\frac{1}{w}, \qquad \frac{1}{z-3}=\frac{1}{w-2}, \qquad \frac{1}{z-5}=\frac{1}{w-4}.
Portanto
f(z)=\frac{1}{8}\frac{1}{w}-\frac{3}{4}\frac{1}{w-2}+\frac{5}{8}\frac{1}{w-4}.
A estratégia é expandir cada termo em série geométrica (ou em potências de w ou em potências de 1/w), escolhendo a forma que converge no anel desejado. Vou obter as séries nas três regiões naturais indicadas em Passo 1.

Passo 4

Expansão em torno de w=0 válida para 0<|w|<2 (isto é, 0<|z-1|<2).
Motivo: para \frac{1}{w-2} usaremos a forma \frac{1}{w-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-w/2} que converge se |w/2|<1 ou seja |w|<2; para \frac{1}{w-4} usaremos \frac{1}{w-4}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-w/4} que converge se |w|<4 (neste anel a segunda e terceira expansões são válidas). Agora as séries geométricas:
Para -\dfrac{3}{4}\dfrac{1}{w-2} com |w|<2:
\frac{1}{w-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{w}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w}{2}\right)^n,
então
-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{w-2}=\frac{3}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{w}{2}\right)^n =\frac{3}{8}+\frac{3}{16}w+\frac{3}{32}w^2+\frac{3}{64}w^3+\cdots.
Para \frac{5}{8}\dfrac{1}{w-4} com |w|<4:
\frac{1}{w-4}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac{w}{4}}=-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{w}{4}\right)^n,
então
\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{w-4}=-\frac{5}{32}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{w}{4}\right)^n =-\frac{5}{32}-\frac{5}{128}w-\frac{5}{512}w^2-\frac{5}{2048}w^3+\cdots.
Somando tudo (incluindo \tfrac{1}{8}w^{-1}), e combinando os primeiros termos, obtemos os primeiros quatro termos não-nulos da expansão de Laurent em 0<|w|<2:
\boxed{\;f(z)=\frac{1}{8}w^{-1}+\frac{7}{32}+\frac{19}{128}w+\frac{43}{512}w^{2}+\cdots\;}
ou, voltando para z com w=z-1,
\boxed{\;f(z)=\frac{1}{8}\frac{1}{z-1}+\frac{7}{32}+\frac{19}{128}(z-1)+\frac{43}{512}(z-1)^2+\cdots\;}
Anel de convergência: 0<|z-1|<2.

Passo 5

Expansão no anel 2<|w|<4 (isto é, 2<|z-1|<4). Aqui |w|>2 então a expansão de \frac{1}{w-2} deve ser em potências de 1/w, enquanto \frac{1}{w-4} ainda pode ser expandida em potências de w (pois |w|<4). Usamos:
\frac{1}{w-2}=\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{w}}=\frac{1}{w}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{w}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty 2^n w^{-n-1},\qquad(|w|>2).
Multiplicando por -\tfrac{3}{4}
-\frac{3}{4}\frac{1}{w-2}=-\frac{3}{4}w^{-1}-\frac{3}{2}w^{-2}-3w^{-3}-6w^{-4}-\cdots.
A expansão de \frac{5}{8}\frac{1}{w-4} permanece (veja Passo 4):
\frac{5}{8}\frac{1}{w-4}=-\frac{5}{32}-\frac{5}{128}w-\frac{5}{512}w^2-\cdots \qquad(|w|<4).
Somando com \tfrac{1}{8}w^{-1} e coletando os primeiros termos (ordenados por potências decrescentes — termos mais singulares primeiro), obtemos os primeiros quatro termos relevantes nesta região:
\boxed{\;f(z)=-3w^{-3}-\tfrac{3}{2}w^{-2}-\tfrac{5}{8}w^{-1}-\tfrac{5}{32}+\cdots\;}
ou em z:
\boxed{\;f(z)=-3(z-1)^{-3}-\tfrac{3}{2}(z-1)^{-2}-\tfrac{5}{8}(z-1)^{-1}-\tfrac{5}{32}+\cdots\;}
Anel de convergência: 2<|z-1|<4.

Passo 6

Expansão para |w|>4 (isto é, |z-1|>4). Agora tanto \frac{1}{w-2} quanto \frac{1}{w-4} são melhor escritas como séries em 1/w:
\frac{1}{w-2}=\sum_{n=0}^\infty 2^n w^{-n-1}\quad(|w|>2),\qquad \frac{1}{w-4}=\sum_{n=0}^\infty 4^n w^{-n-1}\quad(|w|>4).
Multiplicando pelos coeficientes:
-\frac{3}{4}\frac{1}{w-2}=-\frac{3}{4}w^{-1}-\frac{3}{2}w^{-2}-3w^{-3}-6w^{-4}-\cdots,
\frac{5}{8}\frac{1}{w-4}=\frac{5}{8}w^{-1}+\frac{5}{2}w^{-2}+10w^{-3}+40w^{-4}+\cdots.
Somando com \tfrac{1}{8}w^{-1}, os coeficientes das potências de w^{-1} combinam: para w^{-1} temos \tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{8}=0 (cancela), e para as potências seguintes obtemos:
\begin{aligned} w^{-2}:&\quad -\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{2}=1,\\\ w^{-3}:&\quad -3+10=7,\\\ w^{-4}:&\quad -6+40=34, \end{aligned}
portanto os primeiros quatro termos (começando pela potência dominante para grandes |w|) são
\boxed{\;f(z)=w^{-2}+7w^{-3}+34w^{-4}+148w^{-5}+\cdots\;}
ou em z:
\boxed{\;f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{7}{(z-1)^3}+\frac{34}{(z-1)^4}+\frac{148}{(z-1)^5}+\cdots\;}
Anel de convergência: |z-1|>4.

Resposta

Para 0<|z-1|<2: \displaystyle f(z)=\frac{1}{8}\frac{1}{z-1}+\frac{7}{32}+\frac{19}{128}(z-1)+\frac{43}{512}(z-1)^2+\cdots\n
Para 2<|z-1|<4: \displaystyle f(z)=-3(z-1)^{-3}-\tfrac{3}{2}(z-1)^{-2}-\tfrac{5}{8}(z-1)^{-1}-\tfrac{5}{32}+\cdots\n
Para |z-1|>4: \displaystyle f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{7}{(z-1)^3}+\frac{34}{(z-1)^4}+\frac{148}{(z-1)^5}+\cdots

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