Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
em torno de
Passo 1
O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno do ponto
e, em cada caso, especificar o anel (ou anéis) de convergência da expansão.
Informações dadas e observações imediatas: \n
Informações dadas e observações imediatas: \n
- A função tem polos simples em
, e . \n - Como o centro é
, convém usar a mudança de variável (então corresponde a ). \n - Haverá diferentes formas de série (diferentes anéis de convergência) dependendo da distância de
aos outros polos: os pontos distantes do centro estão a e . Assim esperam-se, em geral, três anéis naturais: \n
A resolução começa agora.
Passo 2
Fazer decomposição em frações simples (partial fractions). Procuramos constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Avalie em
para achar
:
Logo a decomposição é
Passo 3
Passe para a variável
. Então
e as frações tornam-se
Portanto
A estratégia é expandir cada termo em série geométrica (ou em potências de
ou em potências de
), escolhendo a forma que converge no anel desejado. Vou obter as séries nas três regiões naturais indicadas em Passo 1.
Passo 4
Expansão em torno de
válida para
(isto é,
).
Motivo: para usaremos a forma
que converge se
ou seja
; para
usaremos
que converge se
(neste anel a segunda e terceira expansões são válidas). Agora as séries geométricas:
Motivo: para
Para
com
:
então
Para
com
:
então
Somando tudo (incluindo
), e combinando os primeiros termos, obtemos os primeiros quatro termos não-nulos da expansão de Laurent em
:
ou, voltando para
com
,
Anel de convergência:
.
Passo 5
Expansão no anel
(isto é,
). Aqui
então a expansão de
deve ser em potências de
, enquanto
ainda pode ser expandida em potências de
(pois
). Usamos:
Multiplicando por
dá
A expansão de
permanece (veja Passo 4):
Somando com
e coletando os primeiros termos (ordenados por potências decrescentes — termos mais singulares primeiro), obtemos os primeiros quatro termos relevantes nesta região:
ou em
:
Anel de convergência:
.
Passo 6
Expansão para
(isto é,
). Agora tanto
quanto
são melhor escritas como séries em
:
Multiplicando pelos coeficientes:
Somando com
, os coeficientes das potências de
combinam: para
temos
(cancela), e para as potências seguintes obtemos:
portanto os primeiros quatro termos (começando pela potência dominante para grandes
) são
ou em
:
Anel de convergência:
.
Resposta
Para
:
\n
Para :
\n
Para :
Para
Para