Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x pertencente ao domínio de f, sendo g dada por:
g(x)=\frac{x+1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que, para todo x no domínio de f,
g\bigl(f(x)\bigr)=x,
onde
g(x)=\frac{x+1}{x+2}.
Isso significa que f é a inversa de g, ou seja, f=g^{-1}.

Passo 2

Para encontrar f, comece definindo
y = f(x),
de modo que
g(y)=\frac{y+1}{y+2}=x.
Agora resolvemos essa equação para y.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (y+2) temos
y+1 = x\,(y+2).
Desenvolvendo o lado direito:
y+1 = x\,y + 2x.
Em seguida, recolhemos os termos com y:
y - x\,y = 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad y\,(1 - x) = 2x - 1.

Passo 4

Desde que 1-x\neq0 (isto é, x\neq1), isolamos y:
y = \frac{2x - 1}{1 - x}.
Portanto,
f(x) = \frac{2x - 1}{1 - x},
com domínio x\neq1.

Resposta

f(x) = \frac{2x - 1}{1 - x},\quad \text{domínio: }x\neq1.í

Exercícios relacionados