Para cada uma das seguintes funções vetoriais
\mathbf{r}(t), determine o seu domínio de definição no conjunto dos números reais:
\mathbf{r}(t)=\sin t \mathbf{i}+4 \cos t \mathbf{j}+t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+4\cos t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k},
e pede: determinar o domínio de definição de \mathbf{r}(t) no conjunto dos números reais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes de \mathbf{r}(t) são, respectivamente, \sin t, 4\cos t e t.
  • A pergunta é sobre o domínio em \mathbb{R}: ou seja, quais valores reais de t fazem a função vetorial estar bem definida.

Passo 2

O que significa domínio de uma função vetorial?
Para uma função vetorial \mathbf{r}(t)=(r_1(t),r_2(t),r_3(t)) o domínio é o conjunto de valores de t para os quais todas as componentes r_1(t),r_2(t),r_3(t) estão definidas. Em símbolos:
\mathrm{Dom}(\mathbf{r})=\mathrm{Dom}(r_1)\cap\mathrm{Dom}(r_2)\cap\mathrm{Dom}(r_3).
No nosso caso:
\mathrm{Dom}(\mathbf{r})=\mathrm{Dom}(\sin t)\cap\mathrm{Dom}(4\cos t)\cap\mathrm{Dom}(t).

Passo 3

Analisar \sin t: por definição clássica, a função seno está definida para todo número real t (pense no ângulo medido em radianos; para qualquer ângulo existe \sin). Portanto
\mathrm{Dom}(\sin t)=\mathbb{R}.
Uma observação prática: propriedades mais avançadas (séries de Taylor, definição via exponencial complexa) também mostram que \sin t é definida para todos os reais.

Passo 4

Analisar 4\cos t: a função cosseno \cos t também está definida para todo t\in\mathbb{R}. Multiplicar por 4 (uma constante) não cria restrição nova: multiplicação por escalar não altera o domínio. Logo
\mathrm{Dom}(4\cos t)=\mathrm{Dom}(\cos t)=\mathbb{R}.

Passo 5

Analisar t (a componente t\,\mathbf{k}): trata-se da função identidade t\mapsto t, que está definida para todo número real. Assim
\mathrm{Dom}(t)=\mathbb{R}.

Passo 6

Interseção das três domínios: como cada componente tem domínio \mathbb{R},
\mathrm{Dom}(\mathbf{r})=\mathbb{R}\cap\mathbb{R}\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}.
Portanto não há restrições (como denominadores que podem ser zero, raízes pares de expressão negativa, logaritmos, etc.) neste caso — tudo está definido para qualquer t real. Relaxa: é daqueles problemas tranquilos.

Resposta

\mathbb{R}

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