Para cada uma das seguintes funções vetoriais
\mathbf{r}(t), determine o seu domínio de definição no conjunto dos números reais:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede: determinar o domínio de definição de
no conjunto dos números reais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes de
são, respectivamente, , e . - A pergunta é sobre o domínio em
: ou seja, quais valores reais de fazem a função vetorial estar bem definida.
Passo 2
O que significa domínio de uma função vetorial?
Para uma função vetorial o domínio é o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes
estão definidas. Em símbolos:
Para uma função vetorial
No nosso caso:
Passo 3
Analisar
: por definição clássica, a função seno está definida para todo número real
(pense no ângulo medido em radianos; para qualquer ângulo existe
). Portanto
Uma observação prática: propriedades mais avançadas (séries de Taylor, definição via exponencial complexa) também mostram que
é definida para todos os reais.
Passo 4
Analisar
: a função cosseno
também está definida para todo
. Multiplicar por
(uma constante) não cria restrição nova: multiplicação por escalar não altera o domínio. Logo
Passo 5
Analisar
(a componente
): trata-se da função identidade
, que está definida para todo número real. Assim
Passo 6
Interseção das três domínios: como cada componente tem domínio
,
Portanto não há restrições (como denominadores que podem ser zero, raízes pares de expressão negativa, logaritmos, etc.) neste caso — tudo está definido para qualquer
real. Relaxa: é daqueles problemas tranquilos.