Considere: \left[\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{lll}x^{3 / 2}, & x \geq 00, \\\ x<0 & \end{array}\right]\right.
  • Verifique continuidade em x=0
  • Analise o limite da derivada lateral: \left[\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}\right]
Dica: a função “encosta suavemente”- mas com qual inclinação?

Passo 1

O enunciado nos dá uma função por partes. Vou escrever claramente o que foi fornecido (assumo a forma canônica sugerida pelo enunciado):
f(x)=\begin{cases} x^{3/2}, & x\ge 0,\\[4pt] 0, & x<0. \end{cases}
As perguntas são:
  • Verificar se f é contínua em x=0.
  • Calcular/analisar o limite lateral
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Observação imediata: pela definição da parte direita, f(0)=0^{3/2}=0.]

Passo 2

Lembrete rápido (definição de continuidade num ponto). Uma função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Isto equivale a pedir que os limites laterais existam e sejam iguais a f(0), ou seja:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0).

Passo 3

Calculo do limite à esquerda. Para x<0 a função vale f(x)=0. Logo, para x\to 0^- temos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} 0 = 0.
Comparando com f(0)=0, a condição da esquerda está satisfeita.

Passo 4

Calculo do limite à direita. Para x\ge 0 temos f(x)=x^{3/2}. Ao fazer x\to 0^+,
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{3/2}=0^{3/2}=0.
Portanto o limite à direita também é 0, igual a f(0).

Passo 5

Conclusão sobre continuidade. Como ambos os limites laterais são iguais a f(0), temos que
\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0).
Logo f é contínua em x=0. Comentário intuitivo: o ramo à direita x^{3/2} vai até a origem de forma suave (sem salto), e o ramo à esquerda é a constante 0, por isso não há descontinuidade.

Passo 6

Agora a segunda parte: analisar
\lim_{h\to 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}.
Isto é o quociente de diferença pelo lado direito (o que dá a derivada à direita em 0, se o limite existir). Substituindo f(h)=h^{3/2} para h>0 e f(0)=0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{3/2}-0}{h}=\frac{h^{3/2}}{h}=h^{1/2}.

Passo 7

Analisar o limite de h^{1/2} quando h\to 0^{+}. Como a função raiz quadrada é contínua e \sqrt{0}=0, temos
\lim_{h\to 0^{+}} h^{1/2}=0.
Portanto
\lim_{h\to 0^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}=0.

Passo 8

Interpretação geométrica e comentário didático. A taxa de variação à direita em 0 tende a 0: a curva y=x^{3/2} toca a origem de forma suave e “achatada” — a inclinação da tangente pela direita é 0. Pelo lado esquerdo, como f é constante ali, a inclinação também é 0. Assim a derivada em 0 existe e vale 0 (embora a questão só pedisse o limite lateral direito).

Resposta

A função é contínua em x=0.
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0.

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