Considere:
- Verifique continuidade em
- Analise o limite da derivada lateral:
Dica: a função “encosta suavemente”- mas com qual inclinação?
Passo 1
O enunciado nos dá uma função por partes. Vou escrever claramente o que foi fornecido (assumo a forma canônica sugerida pelo enunciado):
As perguntas são:
- Verificar se
é contínua em . - Calcular/analisar o limite lateral
Observação imediata: pela definição da parte direita,
.]
Passo 2
Lembrete rápido (definição de continuidade num ponto). Uma função
é contínua em
se, e somente se,
Isto equivale a pedir que os limites laterais existam e sejam iguais a
, ou seja:
Passo 3
Calculo do limite à esquerda. Para
a função vale
. Logo, para
temos
Comparando com
, a condição da esquerda está satisfeita.
Passo 4
Calculo do limite à direita. Para
temos
. Ao fazer
,
Portanto o limite à direita também é
, igual a
.
Passo 5
Conclusão sobre continuidade. Como ambos os limites laterais são iguais a
, temos que
Logo
é contínua em
. Comentário intuitivo: o ramo à direita
vai até a origem de forma suave (sem salto), e o ramo à esquerda é a constante
, por isso não há descontinuidade.
Passo 6
Agora a segunda parte: analisar
Isto é o quociente de diferença pelo lado direito (o que dá a derivada à direita em
, se o limite existir). Substituindo
para
e
,
Passo 7
Analisar o limite de
quando
. Como a função raiz quadrada é contínua e
, temos
Portanto
Passo 8
Interpretação geométrica e comentário didático. A taxa de variação à direita em
tende a
: a curva
toca a origem de forma suave e “achatada” — a inclinação da tangente pela direita é
. Pelo lado esquerdo, como
é constante ali, a inclinação também é
. Assim a derivada em
existe e vale
(embora a questão só pedisse o limite lateral direito).
Resposta
A função é contínua em
.