Questão 5) Determine a curvatura da hélice contida num cilindro de raio r.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a curvatura da hélice contida num cilindro de raio r.”
Informações dadas e o que vamos usar:
O cilindro tem raio \,r (constante).
A hélice é uma curva que gira ao redor do cilindro subindo (ou descendo) com velocidade vertical constante por volta; para descrevê-la preciso introduzir um parâmetro que represente quanto a curva sobe por unidade de ângulo. Vou denotar esse parâmetro por a, ou seja, a hélice sobe a unidades em z quando o parâmetro angular t aumenta de 1 (unidade de ângulo, em radianos).
Objetivo: encontrar a curvatura \kappa da hélice em função de r e de a. (Observação: a hélice que fica num cilindro de raio r e tem subida constante é a família \,(r\cos t,\;r\sin t,\;a t)\,.)
Passo 2
Escolha de parametrização e por que ela faz sentido (passo didático).
Uma hélice sobre o cilindro de raio r pode ser parametrizada pelo ângulo polar t no plano xy. Tomando como parâmetro t\in\mathbb{R} e a subida por unidade de ângulo igual a a, a parametrização natural é
\alpha(t)=\bigl(r\cos t,\;r\sin t,\;a t\bigr).
Explicação: ao variar t em 2\pi a curva dá uma volta completa no cilindro (porque \cos e \sin repetem), e o z aumenta em 2\pi a, que é o “passo” da hélice por volta. Essa é a forma padrão de uma hélice circular.
Passo 3
Lembrando a definição de curvatura e a fórmula prática que vamos usar.
Intuição: a curvatura \kappa mede o quanto a curva se “curva” localmente; para curvas no espaço uma fórmula conveniente, válida para uma parametrização qualquer \alpha(t), é
Aqui \alpha'(t) é o vetor velocidade, \alpha''(t) a aceleração, \times é produto vetorial e \|\cdot\| é norma. Vou usar essa fórmula porque é direta para parametrização em função de t.
Passo 4
Calcular \alpha'(t), \alpha''(t) e a norma \|\alpha'(t)\|.
Derivando componente a componente:
Repare que a norma é constante (independe de t), o que já indica que a hélice tem velocidade constante e a curvatura provavelmente será constante ao longo da curva.
Passo 5
Calcular o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t) e sua norma.
Usando as componentes:
Portanto a curvatura é constante ao longo da hélice e igual a \dfrac{r}{r^{2}+a^{2}}.
Passo 7
Interpretação alternativa e fórmulas equivalentes (úteis na prova).
Se \varphi é o ângulo que a tangente faz com a horizontal, então \tan\varphi=\dfrac{a}{r}. Usando \cos\varphi=\dfrac{r}{\sqrt{r^{2}+a^{2}}} obtém-se uma forma equivalente:
\kappa=\frac{\cos^{2}\varphi}{r}.
Se for dado o “passo” por volta P (a subida em z quando t varia de 0 a 2\pi), então P=2\pi a e a curvatura pode ser escrita em função de P como