• Questão 5) Determine a curvatura da hélice contida num cilindro de raio r.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a curvatura da hélice contida num cilindro de raio r.”
Informações dadas e o que vamos usar:
  • O cilindro tem raio \,r (constante).
  • A hélice é uma curva que gira ao redor do cilindro subindo (ou descendo) com velocidade vertical constante por volta; para descrevê-la preciso introduzir um parâmetro que represente quanto a curva sobe por unidade de ângulo. Vou denotar esse parâmetro por a, ou seja, a hélice sobe a unidades em z quando o parâmetro angular t aumenta de 1 (unidade de ângulo, em radianos).
  • Objetivo: encontrar a curvatura \kappa da hélice em função de r e de a. (Observação: a hélice que fica num cilindro de raio r e tem subida constante é a família \,(r\cos t,\;r\sin t,\;a t)\,.)

Passo 2

Escolha de parametrização e por que ela faz sentido (passo didático).
Uma hélice sobre o cilindro de raio r pode ser parametrizada pelo ângulo polar t no plano xy. Tomando como parâmetro t\in\mathbb{R} e a subida por unidade de ângulo igual a a, a parametrização natural é
\alpha(t)=\bigl(r\cos t,\;r\sin t,\;a t\bigr).
Explicação: ao variar t em 2\pi a curva dá uma volta completa no cilindro (porque \cos e \sin repetem), e o z aumenta em 2\pi a, que é o “passo” da hélice por volta. Essa é a forma padrão de uma hélice circular.

Passo 3

Lembrando a definição de curvatura e a fórmula prática que vamos usar.
Intuição: a curvatura \kappa mede o quanto a curva se “curva” localmente; para curvas no espaço uma fórmula conveniente, válida para uma parametrização qualquer \alpha(t), é
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\|}{\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|^{3}}.
Aqui \alpha'(t) é o vetor velocidade, \alpha''(t) a aceleração, \times é produto vetorial e \|\cdot\| é norma. Vou usar essa fórmula porque é direta para parametrização em função de t.

Passo 4

Calcular \alpha'(t), \alpha''(t) e a norma \|\alpha'(t)\|.
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(-r\sin t,\;r\cos t,\;a\bigr),
\alpha''(t)=\bigl(-r\cos t,\;-r\sin t,\;0\bigr).
A norma de \alpha'(t) é
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\| =\sqrt{(-r\sin t)^{2}+(r\cos t)^{2}+a^{2}} =\sqrt{r^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+a^{2}} =\sqrt{r^{2}+a^{2}}.
Repare que a norma é constante (independe de t), o que já indica que a hélice tem velocidade constante e a curvatura provavelmente será constante ao longo da curva.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t) e sua norma.
Usando as componentes:
\alpha'(t)=\bigl(-r\sin t,\;r\cos t,\;a\bigr), \qquad \alpha''(t)=\bigl(-r\cos t,\;-r\sin t,\;0\bigr).
O produto vetorial tem componentes (fazendo o cálculo componente a componente):
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=\bigl(h_{1},h_{2},h_{3}\bigr)
com
h_{1}= (r\cos t)\cdot 0 - a\cdot(-r\sin t)=a r\sin t,
h_{2}= a\cdot(-r\cos t)-(-r\sin t)\cdot 0 = -a r\cos t,
h_{3}= (-r\sin t)\cdot(-r\sin t)-(r\cos t)\cdot(-r\cos t)=r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t=r^{2}.
Agora a norma ao quadrado é
\bigl\|\alpha'\times\alpha''\bigr\|^{2}=(a r\sin t)^{2}+(-a r\cos t)^{2}+r^{4} = a^{2}r^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+r^{4} = a^{2}r^{2}+r^{4}=r^{2}(a^{2}+r^{2}).
Portanto
\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\|=r\sqrt{a^{2}+r^{2}}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da curvatura e simplificar.
Substituindo na fórmula
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\bigr\|}{\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|^{3}}
obtemos
\kappa=\frac{r\sqrt{a^{2}+r^{2}}}{\bigl(\sqrt{r^{2}+a^{2}}\bigr)^{3}} =\frac{r\sqrt{r^{2}+a^{2}}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}} =\frac{r}{r^{2}+a^{2}}.
Portanto a curvatura é constante ao longo da hélice e igual a \dfrac{r}{r^{2}+a^{2}}.

Passo 7

Interpretação alternativa e fórmulas equivalentes (úteis na prova).
  • Se \varphi é o ângulo que a tangente faz com a horizontal, então \tan\varphi=\dfrac{a}{r}. Usando \cos\varphi=\dfrac{r}{\sqrt{r^{2}+a^{2}}} obtém-se uma forma equivalente:
\kappa=\frac{\cos^{2}\varphi}{r}.
  • Se for dado o “passo” por volta P (a subida em z quando t varia de 0 a 2\pi), então P=2\pi a e a curvatura pode ser escrita em função de P como
\kappa=\frac{r}{r^{2}+\bigl(\tfrac{P}{2\pi}\bigr)^{2}}.
Essas formas ajudam a relacionar a curvatura com parâmetros físicos (ângulo da tangente ou passo por volta).

Resposta

\displaystyle \kappa=\frac{r}{r^{2}+a^{2}}

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