Em cada uma das seguintes igualdades encontrar, se existir, o número real λ que satisfaz:
λ(4,2)+3(4,-2)=2(6,-3).

Passo 1

O enunciado pede para achar o real \lambda tal que a combinação linear dos vetores satisfaça
\lambda(4,2)+3(4,-2)=2(6,-3).
O conteúdo envolvido é soma e escalonamento de vetores em \mathbb{R}^2. Para resolver, vamos expressar cada lado como um vetor em função de \lambda e igualar componentes correspondentes.

Passo 2

Calcular o lado esquerdo. Temos
\lambda(4,2)=(4\lambda,2\lambda)
e
3(4,-2)=(12,-6).
Somando-os,
\lambda(4,2)+3(4,-2)=(4\lambda+12,\;2\lambda-6).

Passo 3

Calcular o lado direito:
2(6,-3)=(12,-6).

Passo 4

Igualar as duas representações em cada componente:
4\lambda+12=12
2\lambda-6=-6

Passo 5

Resolver cada equação:
Da primeira,
4\lambda+12=12\implies4\lambda=0\implies\lambda=0.
Da segunda,
2\lambda-6=-6\implies2\lambda=0\implies\lambda=0.
As duas dão o mesmo valor, logo é consistente.

Resposta

\displaystyle \lambda=0

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