Sejam P, Q e R pontos os quais determinam um triângulo. Mostre que
\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q R}+\overrightarrow{R P}=\overrightarrow{0}

Passo 1

Temos três pontos P,Q,R que formam um triângulo. Para mostrar que \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{0}
vamos usar vetores de posição. Escolha uma origem arbitrária O e defina \overrightarrow{OP}=\mathbf{p}, \overrightarrow{OQ}=\mathbf{q} e \overrightarrow{OR}=\mathbf{r}.

Passo 2

Pela definição de vetor entre dois pontos, vale \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\mathbf{q}-\mathbf{p}, \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}=\mathbf{r}-\mathbf{q}
e \overrightarrow{RP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OR}=\mathbf{p}-\mathbf{r}.

Passo 3

Somando os três vetores, temos
\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP} =(\mathbf{q}-\mathbf{p})+(\mathbf{r}-\mathbf{q})+(\mathbf{p}-\mathbf{r})
e agrupando termos iguais
\mathbf{q}-\mathbf{p}+\mathbf{r}-\mathbf{q}+\mathbf{p}-\mathbf{r} =\mathbf{0}.

Resposta

\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{0}

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