Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da elipse, a partir dos elementos dados:
o centro sobre a reta r: y=2, foco F(3,4), excentricidade e=2 raiz55 e os seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.

Passo 1

Temos que achar a equação de uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados, centro sobre a reta y=2, um foco em F(3,4) e excentricidade
e = 2raiz55
Sabemos que a forma padrão da elipse centrada em (h,k) é
(x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 = 1
se o eixo maior for vertical ( a>b), com c^2 = a^2 - b^2 e e = ca.

Passo 2

Como o centro está sobre y=2, escrevemos o centro como (h,2). O foco F(3,4) deve ficar sobre o eixo maior, que é ou horizontal ou vertical.

Passo 3

Para ter eixo maior horizontal precisaríamos 4=k=2, o que é impossível. Logo o eixo maior é vertical, isto é, os focos têm a mesma abscissa do centro:
3 = h
Assim o centro é (3,2).

Passo 4

A distância do centro (3,2) ao foco (3,4) é
c = raiz(3-3)^2 + (4-2)^2 = 2

Passo 5

Pela definição de excentricidade,
e = ca Longrightarrow 2raiz55 = 2a Longrightarrow a = raiz5

Passo 6

Agora calculamos b usando c^2 = a^2 - b^2:
b^2 = a^2 - c^2 = 5 - 4 = 1,
logo b = 1.

Passo 7

Como o eixo maior é vertical, a equação da elipse fica
(x-3)^2b^2 + (y-2)^2a^2 = 1 Longrightarrow (x-3)^21 + (y-2)^25 = 1

Resposta

(x-3)^21 + (y-2)^25 = 1

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