1. Sejam u=(-1,2) e v=(5,2). Determine:
    (a) O produto escalar e o ângulo entre u e v.
    (b) A projeção Pv^u.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^2, u=(-1,2) e v=(5,2), e pede:
(a) o produto escalar ucdot v e o ângulo theta entre eles;
(b) a projeção ortogonal de u sobre v.
Vamos usar que em R^2 vale
ucdot v=u1v1+u2v2, |w|=raizw1^2+w2^2, costheta=ucdotv|u||v|,
e que a projeção de u sobre v é
projv(u) =ucdotvvcdotv;v

Passo 2

Calculamos primeiro o produto escalar e as normas:
ucdot v =(-1)cdot 5 + 2cdot 2 =-5 + 4 =-1
|u| =raiz(-1)^2 + 2^2 =raiz1 + 4 =raiz5, |v| =raiz5^2 + 2^2 =raiz25 + 4 =raiz29

Passo 3

Usando a definição de cosseno do ângulo,
costheta =ucdotv|u||v| =-1raiz5,raiz29 =-1raiz145
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theta =arccos!l(-tfrac1raiz145r)

Passo 4

Para a projeção ortogonal de u sobre v usamos
projv(u) =ucdotvvcdotv;v =-15^2+2^2;(5,2) =-129;(5,2) =l(-tfrac529,-tfrac229r)

Resposta

(a) ucdot v = -1 e theta = arccos!l(-1/raiz145r).
(b) projv(u) = l(-5/29,,-2/29r).

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