Escreva v como uma combinação linear de u1, u2, u3, com
$v=(1,3,2), u_{1}=(1,2,1), u_{2}=(2,6,5), u_{3}=(1,7,8);

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(1,3,2) como combinação linear de u1=(1,2,1), u2=(2,6,5) e u3=(1,7,8). Isso significa achar escalares a,b,c tais que
a,u1 + b,u2 + c,u3 = v
O conteúdo usado aqui é resolução de sistema linear associado à definição de combinação linear.

Passo 2

Substituindo as coordenadas, a igualdade
a,(1,2,1) + b,(2,6,5) + c,(1,7,8) = (1,3,2)
gera o sistema
a + 2b + c = 1, 2a + 6b + 7c = 3, a + 5b + 8c = 2

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = 1 - 2b - c

Passo 4

Substituindo a nas outras duas equações, achamos
2(1-2b-c) + 6b + 7c = 3 Longrightarrow 2b + 5c = 1,
(1-2b-c) + 5b + 8c = 2 Longrightarrow 3b + 7c = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema em
fazendo . Substituindo em vem , logo .

Passo 6

Por fim, de a = 1 - 2b - c segue
a = 1 - 2(-2) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4

Resposta

v = 4,u1 ;-; 2,u2 ;+; 1,u3,
ou simplesmente
v = 4u1 - 2u2 + u3

Exercícios relacionados