Em cada um dos seguintes itens, determine se existem soluções em inteiros para a equação dada
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existem soluções em inteiros para a equação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Coeficientes e incógnitas:
, , incógnitas inteiros. - Constante do lado direito:
.
A pergunta é: existem inteirose tais que ?
Passo 2
Fato-chave (teorema útil para este tipo de equação):
Para uma equação linear diofantina com
inteiros, existem soluções inteiras se, e somente se, o máximo divisor comum de
e
, denotado
, divide
.
Explicação didática do porquê:
Para uma equação linear diofantina
Explicação didática do porquê:
- Seja
. Pela identidade de Bézout existem inteiros tais que . - Qualquer combinação inteira
é múltiplo de , porque divide tanto quanto . Logo só pode produzir múltiplos de . - Portanto, se
não é múltiplo de , não há como escrever como com inteiros. - Se
é múltiplo de , digamos , então multiplicando a expressão de Bézout por obtemos uma solução inteira .
Na prática: calculare verificar se .
Passo 3
Calcular
com um raciocínio simples:
-
. Quando a divisão tem resto zero, o divisor é o máximo divisor comum.
Logo.
Passo 4
Verificar se
divide
.
- Divisão:
. O resto é , portanto não divide . - Em notação modular:
, ou seja, não é congruente a módulo .
Pelo teorema do Passo 2, como, não existem inteiros tais que .
Passo 5
Comentário prático para a prova (dica aplicada): se a constante fosse múltipla de
— por exemplo
— então haveria soluções. Exemplo rápido:
- Para
dividimos por e obtemos . - Isolando
: , com . Assim se encontra a família de soluções inteiras.
Isso mostra como proceder quandodivide .
Resposta
Não existem soluções inteiras para
.