Em cada um dos seguintes itens, determine se existem soluções em inteiros para a equação dada
3 x+6 y=10

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existem soluções em inteiros para a equação
3x+6y=10.
Informações dadas:
  • Coeficientes e incógnitas: a=3, b=6, incógnitas x,y inteiros.
  • Constante do lado direito: c=10.
    A pergunta é: existem inteiros x e y tais que 3x+6y=10?

Passo 2

Fato-chave (teorema útil para este tipo de equação):
Para uma equação linear diofantina ax+by=c com a,b,c inteiros, existem soluções inteiras se, e somente se, o máximo divisor comum de a e b, denotado \gcd(a,b), divide c.
Explicação didática do porquê:
  • Seja d=\gcd(a,b). Pela identidade de Bézout existem inteiros u,v tais que au+bv=d.
  • Qualquer combinação inteira ax+by é múltiplo de d, porque d divide tanto a quanto b. Logo ax+by só pode produzir múltiplos de d.
  • Portanto, se c não é múltiplo de d, não há como escrever c como ax+by com x,y inteiros.
  • Se c é múltiplo de d, digamos c=dk, então multiplicando a expressão de Bézout por k obtemos uma solução inteira (x,y)=(ku,kv).
    Na prática: calcular \gcd(a,b) e verificar se \gcd(a,b)\mid c.

Passo 3

Calcular \gcd(3,6) com um raciocínio simples:
  • 6 = 3\cdot 2 + 0. Quando a divisão tem resto zero, o divisor é o máximo divisor comum.
    Logo \gcd(3,6)=3.

Passo 4

Verificar se \gcd(3,6)=3 divide c=10.
  • Divisão: 10 = 3\cdot 3 + 1. O resto é 1, portanto 3 não divide 10.
  • Em notação modular: 10 \equiv 1 \pmod{3}, ou seja, não é congruente a 0 módulo 3.
    Pelo teorema do Passo 2, como 3\nmid 10, não existem inteiros x,y tais que 3x+6y=10.

Passo 5

Comentário prático para a prova (dica aplicada): se a constante fosse múltipla de 3 — por exemplo 9 — então haveria soluções. Exemplo rápido:
  • Para 3x+6y=9 dividimos por 3 e obtemos x+2y=3.
  • Isolando x: x=3-2t, y=t com t\in\mathbb{Z}. Assim se encontra a família de soluções inteiras.
    Isso mostra como proceder quando \gcd(a,b) divide c.

Resposta

Não existem soluções inteiras para 3x+6y=10.

Exercícios relacionados