Quais dos seguintes conjuntos são ideais de
? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Todos os inteiros
tais que
seja divisível por 9 .
Todos os inteiros
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um ideal de
. Se for ideal, devo determinar o inteiro positivo
tal que
Informações dadas: a definição do conjunto
é exatamente a condição aritmética "9 divide
".
Passo 2
Entendendo o que significa a condição "9 divide
". Escrevemos a condição em notação:
ou seja, existe um inteiro
tal que
Vou manipular essa igualdade para tirar informação sobre
. Uma observação útil é o cálculo do máximo divisor comum:
Quando um produto
é múltiplo de
, podemos usar a relação entre divisibilidade e o gcd para simplificar a condição. Vou fazer isso explicando passo a passo.
Passo 3
Dividindo a igualdade
por
(já que
divide tanto
quanto
), obtemos
Isso diz que
divide
. Agora uso que
: como
e
são coprimos, para que
divida o produto
é preciso que
divida
. Em palavras: se um primo (ou qualquer inteiro coprimo ao outro fator) divide um produto, então ele divide o outro fator.
Portanto a condição original implica
isto é, existe
tal que
Passo 4
Mostrando a implicação contrária (para obter igualdade de conjuntos): se
é múltiplo de
, digamos
, então
Como
, temos
múltiplo de
. Logo
. Portanto qualquer múltiplo de
pertence a
.
Combinando Passo 3 e Passo 4, concluímos que
Passo 5
Agora eu mostro que
é de fato um ideal de
(isso também explica por que escrever
faz sentido). Lembrete prático sobre ideais em
: todo ideal de
é gerado por um único inteiro
, isto é, todo ideal é da forma
. Mas para ficar bem concreto, verifico as propriedades:
-
Fechado sob adição: se
e então , que pertence a . -
Fechado sob inverso aditivo: se
então está em . -
Absorção por multiplicação por qualquer inteiro: se
e então pertence a .
Assim
satisfaz as três propriedades de ideal em
. Como
,
é um ideal.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica amiga): um jeito rápido de ver o
é calcular
. De maneira geral, o conjunto
é
. Aqui
, obtendo o mesmo resultado. Essa fórmula é útil para questões semelhantes e evita passos repetitivos.
Resposta
Sim: