Quais dos seguintes conjuntos são ideais de mathbb{Z} ? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo m tal que J=m \mathbb{Z}.
Todos os inteiros n tais que 21 n seja divisível por 9 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
J=\{n\in\mathbb{Z}\mid 21n\text{ é divisível por }9\}éí
é um ideal de \mathbb{Z}. Se for ideal, devo determinar o inteiro positivo m tal que
J=m\mathbb{Z}.
Informações dadas: a definição do conjunto J é exatamente a condição aritmética "9 divide 21n".

Passo 2

Entendendo o que significa a condição "9 divide 21n". Escrevemos a condição em notação:
21n\equiv 0\pmod{9},
ou seja, existe um inteiro k tal que
21n=9k.
Vou manipular essa igualdade para tirar informação sobre n. Uma observação útil é o cálculo do máximo divisor comum:
\gcd(21,9)=3.
Quando um produto \,21n é múltiplo de 9, podemos usar a relação entre divisibilidade e o gcd para simplificar a condição. Vou fazer isso explicando passo a passo.

Passo 3

Dividindo a igualdade 21n=9k por 3 (já que 3 divide tanto 21 quanto 9), obtemos
7n=3k.
Isso diz que 3 divide 7n. Agora uso que \gcd(7,3)=1: como 7 e 3 são coprimos, para que 3 divida o produto 7n é preciso que 3 divida n. Em palavras: se um primo (ou qualquer inteiro coprimo ao outro fator) divide um produto, então ele divide o outro fator.
Portanto a condição original implica
3\mid n,
isto é, existe t\in\mathbb{Z} tal que
n=3t.

Passo 4

Mostrando a implicação contrária (para obter igualdade de conjuntos): se n é múltiplo de 3, digamos n=3t, então
21n=21(3t)=63t.
Como 63=9\cdot7, temos 63t múltiplo de 9. Logo 9\mid 21n. Portanto qualquer múltiplo de 3 pertence a J.
Combinando Passo 3 e Passo 4, concluímos que
J=\{n\in\mathbb{Z}\mid 3\mid n\}=3\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora eu mostro que 3\mathbb{Z} é de fato um ideal de \mathbb{Z} (isso também explica por que escrever J=m\mathbb{Z} faz sentido). Lembrete prático sobre ideais em \mathbb{Z}: todo ideal de \mathbb{Z} é gerado por um único inteiro m\ge 0, isto é, todo ideal é da forma m\mathbb{Z}. Mas para ficar bem concreto, verifico as propriedades:
  1. Fechado sob adição: se a=3r e b=3s então a+b=3(r+s), que pertence a 3\mathbb{Z}.
  2. Fechado sob inverso aditivo: se a=3r então -a=3(-r) está em 3\mathbb{Z}.
  3. Absorção por multiplicação por qualquer inteiro: se a=3r e t\in\mathbb{Z} então t\cdot a = t\cdot(3r)=3(tr) pertence a 3\mathbb{Z}.
Assim 3\mathbb{Z} satisfaz as três propriedades de ideal em \mathbb{Z}. Como J=3\mathbb{Z}, J é um ideal.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica amiga): um jeito rápido de ver o m é calcular \gcd(21,9). De maneira geral, o conjunto \{n\in\mathbb{Z}\mid a n\equiv 0\pmod{b}\} é \frac{b}{\gcd(a,b)}\mathbb{Z}. Aqui \frac{9}{\gcd(21,9)}=\frac{9}{3}=3, obtendo o mesmo resultado. Essa fórmula é útil para questões semelhantes e evita passos repetitivos.

Resposta

Sim: J=3\mathbb{Z}.
m=3

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