Demonstre o teorema:
Sejam
e
inteiros tais que
divide
. Escrevendo
na forma
, temos que
é uma solução da equaçāo
. Toda outra solução é da forma:
E, reciprocamente. para todo
os valores
e
dados pelas fórmulas acima são soluções da equação.
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e diz que
divide
. Também dá a representação de Bézout
com
. O que temos de demonstrar é: (i) que
é uma solução da equação
; (ii) que toda solução
pode ser escrita como
para algum
; e (iii) o recíproco: para todo
a fórmula dá uma solução. Nada mais é pedido.
Passo 2
Primeiro mostramos que
realmente resolve
. Substituindo:
Mas pelo enunciado
. Logo
Assim
é solução. Observação importante: usamos que
divide
, então
é inteiro e
são inteiros.
Passo 3
Agora mostro que qualquer solução
da equação difere de
da maneira indicada. Seja
uma solução qualquer, ou seja
Subtraindo a igualdade que obtivemos no passo 2, temos
Defina
e
. Então
Nosso objetivo é caracterizar todos os pares inteiros
que satisfazem essa equação homogênea.
Passo 4
Reescrevendo
obtemos
Dividindo ambos os lados por
(note que
a menos que
, caso trivial tratado à parte), obtemos
Agora usamos uma propriedade fundamental:
. Isso ocorre porque
é o maior divisor comum de
e
; ao dividir
e
por
eliminamos todos os fatores comuns. Assim os inteiros
e
são coprimos.
Da igualdade
vemos que
divide
. Como
, vale o seguinte lema de divisibilidade: se
e
então
. Vou provar esse lema rápido: como
existem inteiros
com
(Bézout). Multiplicando por
dá
. Se
então
e claramente
, logo
. Assim o lema está provado.
Aplicando o lema com
,
e
, concluímos que
divide
. Portanto existe
tal que
Passo 5
Com
substituímos em
(ou na forma reduzida) para obter
. Usando a forma dividida por
,
Como
podemos dividir ambos os lados por
e obter
ou seja
Assim qualquer solução
satisfaz, para algum
,
Passo 6
Mostramos agora o recíproco: que para todo
o par definido por
é de fato solução de
. Basta substituir na equação:
O segundo termo entre parênteses anula-se pois é
. E
pelo passo 2. Logo
. Portanto toda escolha de
produz uma solução inteira.
Passo 7
Concluímos então: (i) existe uma solução explícita
dada por
,
; (ii) toda solução tem a forma
para algum
; (iii) recíprocamente, toda forma acima representa uma solução. Isso completa a demonstração do teorema solicitado.