Demonstre o teorema:
Sejam a, b e c inteiros tais que d=m d c(a, b) divide c. Escrevendo d na forma d=r a+s b, \operatorname{com} r, s \in \mathbb{Z}, temos que x_{0}=r \frac{c}{d}, y_{0}=s \frac{c}{d} é uma solução da equaçāo a X+b Y=c. Toda outra solução é da forma:
x=r \frac{c}{d}+\frac{b}{d} t=x_{0}+\frac{b}{d} t, y=s \frac{c}{d}-\frac{a}{d} t=y_{0}-\frac{a}{d} t, \text { com } t \in \mathbb{Z}
E, reciprocamente. para todo t \in \mathbb{Z} os valores x e y dados pelas fórmulas acima são soluções da equação.

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a,b,c e diz que d=\operatorname{mdc}(a,b) divide c. Também dá a representação de Bézout d=ra+sb com r,s\in\mathbb{Z}. O que temos de demonstrar é: (i) que
x_{0}=r\frac{c}{d},\qquad y_{0}=s\frac{c}{d}
é uma solução da equação aX+bY=c; (ii) que toda solução (x,y) pode ser escrita como
x=x_{0}+\frac{b}{d}\,t,\qquad y=y_{0}-\frac{a}{d}\,t
para algum t\in\mathbb{Z}; e (iii) o recíproco: para todo t\in\mathbb{Z} a fórmula dá uma solução. Nada mais é pedido.

Passo 2

Primeiro mostramos que \big(x_{0},y_{0}\big) realmente resolve aX+bY=c. Substituindo:
a x_{0}+b y_{0} = a\left(r\frac{c}{d}\right)+b\left(s\frac{c}{d}\right) = \frac{c}{d}\,(ar+bs).
Mas pelo enunciado ar+bs=d. Logo
a x_{0}+b y_{0}=\frac{c}{d}\cdot d = c.
Assim \big(x_{0},y_{0}\big) é solução. Observação importante: usamos que d divide c, então \dfrac{c}{d} é inteiro e x_{0},y_{0} são inteiros.

Passo 3

Agora mostro que qualquer solução (x,y) da equação difere de (x_{0},y_{0}) da maneira indicada. Seja (x,y) uma solução qualquer, ou seja
a x + b y = c.
Subtraindo a igualdade que obtivemos no passo 2, temos
a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) = c - c = 0.
Defina u = x-x_{0} e v = y-y_{0}. Então
a u + b v = 0.
Nosso objetivo é caracterizar todos os pares inteiros (u,v) que satisfazem essa equação homogênea.

Passo 4

Reescrevendo a u + b v = 0 obtemos
a u = - b v.
Dividindo ambos os lados por d=\operatorname{mdc}(a,b) (note que d\neq 0 a menos que a=b=0, caso trivial tratado à parte), obtemos
\left(\frac{a}{d}\right) u = -\left(\frac{b}{d}\right) v.
Agora usamos uma propriedade fundamental: \operatorname{mdc}\!\big(\tfrac{a}{d},\tfrac{b}{d}\big)=1. Isso ocorre porque d é o maior divisor comum de a e b; ao dividir a e b por d eliminamos todos os fatores comuns. Assim os inteiros \dfrac{a}{d} e \dfrac{b}{d} são coprimos.
Da igualdade
\left(\frac{a}{d}\right) u = -\left(\frac{b}{d}\right) v
vemos que \dfrac{b}{d} divide \left(\dfrac{a}{d}\right)u. Como \gcd\!\big(\dfrac{a}{d},\dfrac{b}{d}\big)=1, vale o seguinte lema de divisibilidade: se \gcd(m,n)=1 e m\mid nk então m\mid k. Vou provar esse lema rápido: como \gcd(m,n)=1 existem inteiros p,q com pm+qn=1 (Bézout). Multiplicando por k pmk+qnk=k. Se m\mid nk então m\mid qnk e claramente m\mid pmk, logo m\mid(pm k+q n k)=k. Assim o lema está provado.
Aplicando o lema com m=\dfrac{b}{d}, n=\dfrac{a}{d} e k=u, concluímos que \dfrac{b}{d} divide u. Portanto existe t\in\mathbb{Z} tal que
u = \frac{b}{d}\,t.

Passo 5

Com u=\dfrac{b}{d}t substituímos em a u = - b v (ou na forma reduzida) para obter v. Usando a forma dividida por d,
\left(\frac{a}{d}\right)\left(\frac{b}{d}t\right) = -\left(\frac{b}{d}\right)v.
Como \dfrac{b}{d}\neq 0 podemos dividir ambos os lados por \dfrac{b}{d} e obter
\frac{a}{d}\,t = -v,
ou seja
v = -\frac{a}{d}\,t.
Assim qualquer solução (x,y) satisfaz, para algum t\in\mathbb{Z},
x = x_{0} + u = x_{0} + \frac{b}{d}\,t, \qquad y = y_{0} + v = y_{0} - \frac{a}{d}\,t.

Passo 6

Mostramos agora o recíproco: que para todo t\in\mathbb{Z} o par definido por
x = x_{0} + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_{0} - \frac{a}{d}\,t
é de fato solução de aX+bY=c. Basta substituir na equação:
a x + b y = a\left(x_{0}+\frac{b}{d}t\right) + b\left(y_{0}-\frac{a}{d}t\right) = (a x_{0}+b y_{0}) + \left(a\frac{b}{d}t - b\frac{a}{d}t\right).
O segundo termo entre parênteses anula-se pois é ab\frac{t}{d}-ba\frac{t}{d}=0. E a x_{0}+b y_{0}=c pelo passo 2. Logo a x + b y = c. Portanto toda escolha de t\in\mathbb{Z} produz uma solução inteira.

Passo 7

Concluímos então: (i) existe uma solução explícita (x_{0},y_{0}) dada por x_{0}=r\frac{c}{d}, y_{0}=s\frac{c}{d}; (ii) toda solução tem a forma
x = x_{0} + \frac{b}{d}t,\qquad y = y_{0} - \frac{a}{d}t
para algum t\in\mathbb{Z}; (iii) recíprocamente, toda forma acima representa uma solução. Isso completa a demonstração do teorema solicitado.

Resposta

x=r\frac{c}{d}+\frac{b}{d}t=x_{0}+\frac{b}{d}t,\qquad y=s\frac{c}{d}-\frac{a}{d}t=y_{0}-\frac{a}{d}t,\; t\in\mathbb{Z}

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