Em cada um dos seguintes itens, determine se existem soluções em inteiros para a equação dada
5 x+10 y=20

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existem soluções inteiras para a equação
5x+10y=20.
Informações dadas:
  • A equação linear em duas incógnitas é \,5x+10y=20.
  • Queremos saber se existem soluções com x e y inteiros e, se existirem, descrever todas elas.

Passo 2

Primeira ideia útil (teoria curta e prática): para uma equação do tipo \,ax+by=c com a,b,c inteiros, existe solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c. Aqui vamos aplicar isso e explicar por que.
Calcule o máximo divisor comum (MDC) de 5 e 10:
\gcd(5,10)=5.
Verificamos se 5 divide 20. Como 20=5\cdot4, então 5\mid20. Portanto, pela condição acima, existem soluções inteiras. Explicação curta do porquê: qualquer combinação inteira 5x+10y é múltiplo de \gcd(5,10)=5; para que seja igual a 20 é necessário que 20 seja múltiplo de 5, o que acontece.

Passo 3

Para facilitar a resolução, dividimos toda a equação pelo \gcd que vimos (podemos dividir porque todos os coeficientes e o termo independente são múltiplos de 5), obtendo uma forma mais simples e equivalente:
\frac{5x+10y}{5}=\frac{20}{5}\quad\Rightarrow\quad x+2y=4.
Essa operação é válida porque dividir ambos os lados por 5 mantém a equivalência e preserva as soluções inteiras (já que dividimos por um divisor comum).

Passo 4

Agora resolvemos a equação simplificada. Isolamos x em função de y:
x+2y=4 \quad\Rightarrow\quad x=4-2y.
Isto significa: para qualquer valor inteiro escolhido para y, a expressão 4-2y dá um x que satisfaz a equação.

Passo 5

Parametrização das soluções (forma prática para a prova): coloque y como parâmetro inteiro. Seja t\in\mathbb{Z} e tome
y=t.
Substituindo em x=4-2y obtemos
x=4-2t.
Portanto cada t\in\mathbb{Z} fornece uma solução inteira (x,y)=(4-2t,\;t).

Passo 6

Verificação rápida plugando a solução geral na equação original para garantir que tudo está correto:
5x+10y=5(4-2t)+10t=20-10t+10t=20,
o que confirma que todas as escolhas de t\in\mathbb{Z} realmente satisfazem a equação. Mostre alguns exemplos concretos para fixar:
  • t=0 (x,y)=(4,0).
  • t=1 (x,y)=(2,1).
  • t=2 (x,y)=(0,2).
  • t=-1 (x,y)=(6,-1).
    Perceba que há infinitas soluções inteiras (uma para cada inteiro t).

Resposta

x=4-2t,\;y=t,\;t\in\mathbb{Z}

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