Em cada um dos seguintes itens, determine se existem soluções em inteiros para a equação dada
5 x+10 y=20
5 x+10 y=20
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existem soluções inteiras para a equação
Informações dadas:
- A equação linear em duas incógnitas é
. - Queremos saber se existem soluções com
e inteiros e, se existirem, descrever todas elas.
Passo 2
Primeira ideia útil (teoria curta e prática): para uma equação do tipo
com
inteiros, existe solução inteira se, e somente se,
divide
. Aqui vamos aplicar isso e explicar por que.
Calcule o máximo divisor comum (MDC) de
e
:
Verificamos se
divide
. Como
, então
. Portanto, pela condição acima, existem soluções inteiras. Explicação curta do porquê: qualquer combinação inteira
é múltiplo de
; para que seja igual a
é necessário que
seja múltiplo de
, o que acontece.
Passo 3
Para facilitar a resolução, dividimos toda a equação pelo
que vimos (podemos dividir porque todos os coeficientes e o termo independente são múltiplos de
), obtendo uma forma mais simples e equivalente:
Essa operação é válida porque dividir ambos os lados por
mantém a equivalência e preserva as soluções inteiras (já que dividimos por um divisor comum).
Passo 4
Agora resolvemos a equação simplificada. Isolamos
em função de
:
Isto significa: para qualquer valor inteiro escolhido para
, a expressão
dá um
que satisfaz a equação.
Passo 5
Parametrização das soluções (forma prática para a prova): coloque
como parâmetro inteiro. Seja
e tome
Substituindo em
obtemos
Portanto cada
fornece uma solução inteira
.
Passo 6
Verificação rápida plugando a solução geral na equação original para garantir que tudo está correto:
o que confirma que todas as escolhas de
realmente satisfazem a equação. Mostre alguns exemplos concretos para fixar:
-
dá . -
dá . -
dá . -
dá .
Perceba que há infinitas soluções inteiras (uma para cada inteiro).