Para uma Normal (5,10) coletou-se uma amostra de tamanho 25 . Calcule:
P(\bar{X} \leq 4,7 ou \bar{X} \geq 5,1).

Passo 1

O enunciado diz: a população é Normal (5,10) e coletou-se uma amostra de tamanho 25. Pede-se a probabilidade
P(\bar{X} \leq 4,7 \\ \text{ou} \\ \bar{X} \geq 5,1).
Vou interpretar a notação \text{Normal}(5,10) como uma normal com média \mu=5 e variância \sigma^{2}=10 (ou seja, desvio padrão \sigma=\sqrt{10}). As informações relevantes que temos são, portanto:
\mu=5, \sigma^{2}=10, \sigma=\sqrt{10} e n=25. A variável de interesse é a média amostral \bar{X}.

Passo 2

O que o problema pede, explicitamente, é a probabilidade de a média amostral ficar em uma das duas caudas: menor ou igual a 4,7 ou maior ou igual a 5,1. Essas duas situações são eventos disjuntos, então podemos calcular separadamente
P(\bar{X}\le 4,7)\quad\text{e}\quad P(\bar{X}\ge 5,1)
e somá-las.

Passo 3

Fato importante (fórmula que usamos): se a população é normal com média \mu e variância \sigma^{2}, então a média amostral de tamanho n tem distribuição normal
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Aqui \mu é a média da população, \sigma^{2} é a variância da população e n é o tamanho da amostra. No nosso caso:
\bar{X}\sim N\!\left(5,\frac{10}{25}\right)=N\!\left(5,0,4\right).
O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.
Vamos calcular numericamente:
\frac{\sqrt{10}}{5}\approx 0,6324555.

Passo 4

Para usar a tabela da normal padrão transformamos cada probabilidade em um Z-score:
a transformação é
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}.
Calculamos os dois z correspondentes.
Para \bar{X}=4,7:
z_{1}=\frac{4,7-5}{\sqrt{10}/5}=\frac{-0,3}{0,6324555}\approx -0,47434.
Para \bar{X}=5,1:
z_{2}=\frac{5,1-5}{\sqrt{10}/5}=\frac{0,1}{0,6324555}\approx 0,15811.

Passo 5

Agora usamos a CDF da normal padrão \Phi(\cdot).
Primeiro,
P(\bar{X}\le 4,7)=P\!\left(Z\le z_{1}\right)=\Phi(-0,47434).
Pela simetria da normal, \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
\Phi(-0,47434)=1-\Phi(0,47434).
Consultando tabela ou aproximando por interpolação, \Phi(0,47434)\approx 0,68236. Portanto
P(\bar{X}\le 4,7)\approx 1-0,68236=0,31764.
Segundo,
P(\bar{X}\ge 5,1)=P\!\left(Z\ge z_{2}\right)=1-\Phi(0,15811).
Da tabela, \Phi(0,15811)\approx 0,56286. Então
P(\bar{X}\ge 5,1)\approx 1-0,56286=0,43714.

Passo 6

Como os dois eventos são disjuntos, somamos as probabilidades:
P(\bar{X}\le 4,7\\ \text{ou}\\ \bar{X}\ge 5,1)=0,31764+0,43714=0,75478\approx 0,7548.

Resposta

0,7548

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