Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante rho que abranja a região delimitada por y = x - x^2 e y = -x * (1, -3/5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de uma placa fina com densidade constante rho. A região que essa placa cobre é limitada pelas curvas e , entre os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas para determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Precisamos encontrar onde as duas curvas se interceptam para saber de onde até onde integrar.
Temos as equações:
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Então, x = 0 ou x = 2. Substituindo na equação (2) para encontrar os valores de y:
  • Para x = 0:
  • Para x = 2:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, vamos expressar a área da placa e as coordenadas do centro de massa.
A densidade é constante, então podemos ignorar rho nos cálculos de e ȳ, pois ela vai se cancelar.
As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
onde A é a área da região, f(x) é a função de cima e g(x) é a função de baixo.

Passo 4

Vamos calcular a área A primeiro. A área entre as curvas é dada por:
Integrando:
Então, a área A é 4/3 unidades quadradas.

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Integrando:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Integrando:
Então:

Resposta

O centro de massa da placa é o ponto .

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