integral1^e 2^ln xx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . O assunto aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, integrais envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades dos logaritmos e exponenciais, além de saber como calcular integrais de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão integral1^e x^ln 2x , dx . Sabemos que , então podemos reescrever como . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o integrando x^ln 2x = x^ln 2 - 1 . Lembrando que integral1^e x^ln 2 - 1 , dx , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , usamos a fórmula da integral de uma potência:
integral x^ln 2 - 1 , dx = x^ln 2ln 2 + C
Aqui, . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a x^ln 2ln 2 |1^e = e^ln 2ln 2 - 1^ln 2ln 2 :
2ln 2 - 1ln 2 = 2 - 1ln 2 = 1ln 2
Sabemos que e , então substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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