Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada 3\times3
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 3 & 4 \\[4pt] 2 & 3 & -1\end{pmatrix}
e pede três coisas:
  • calcular o posto de A;
  • calcular a nulidade de A (dimensão do núcleo de A);
  • determinar a inversa de A, se ela existir.
As informações relevantes que temos são os elementos da própria matriz A. Nada mais foi dado.]

Passo 2

Antes de começar a manipular a matriz, um rápido lembrete conceitual (explicado devagarinho):
  • O posto de uma matriz A, \text{rank}(A), é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Em termos práticos, é o número de pivôs (linhas não nulas) que aparece quando fazemos eliminação de Gauss até a forma escalonada.
  • A nulidade de A, \text{nullity}(A), é a dimensão do espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} (o núcleo). Para uma matriz m\times n vale o teorema da dimensão (rank-nullity):
\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n.
No nosso caso n=3 (três colunas).
  • Sobre inversa: uma matriz quadrada A é inversível (tem inversa) se, e somente se, \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0 a matriz é singular e não tem inversa.
Vou primeiro calcular o determinante para checar se a inversa existe; depois faço eliminação para determinar o posto e o núcleo.

Passo 3

Cálculo do determinante de A por expansão de Laplace na primeira linha (mostrar passo a passo):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
Agora cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-4\cdot3=-3-12=-15,
\det\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-4\cdot2=-1-8=-9,
\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-3\cdot2=3-6=-3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-15)-2\cdot(-9)+1\cdot(-3)=-15+18-3=0.
Conclusão: \det(A)=0. Isso já diz que A é singular e, portanto, não tem inversa. Mas ainda precisamos do posto e da nulidade.]

Passo 4

Agora vamos fazer eliminação de Gauss para encontrar o posto e o núcleo. Escrevo a matriz A e realizo operações elementares com explicação de cada passo (operações que preservam dependência linear entre linhas):
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[4pt] 1 & 3 & 4 \\[4pt] 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}
Subtraio a primeira linha da segunda ( R_2 \leftarrow R_2-R_1 ) e subtraio duas vezes a primeira linha da terceira ( R_3 \leftarrow R_3-2R_1 ):
R_2= (1,3,4)-(1,2,1)=(0,1,3),
R_3= (2,3,-1)-2(1,2,1)=(2,3,-1)-(2,4,2)=(0,-1,-3).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Agora somo a segunda linha à terceira ( R_3 \leftarrow R_3+R_2 ) para eliminar o pivô da terceira linha:
R_3=(0,-1,-3)+(0,1,3)=(0,0,0).
A matriz em forma escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observações:
  • Temos exatamente dois pivôs (colunas com pivô): na coluna 1 (linha 1) e na coluna 2 (linha 2).
  • A terceira linha é nula, então não há pivô na coluna 3.
Portanto o posto é \text{rank}(A)=2.]

Passo 5

Com o posto encontrado, aplico o teorema rank-nullity para obter a nulidade:
\text{nullity}(A)=n-\text{rank}(A)=3-2=1.
Isto significa que o espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem dimensão 1 (há um parâmetro livre).

Passo 6

Vou encontrar explicitamente o núcleo (isso ajuda a entender a nulidade e é útil na prova). A forma escalonada deu os sistemas (ler linhas como equações):
  • Da segunda linha: 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 3\cdot x_3 = 0, isto é
x_2 + 3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -3x_3.
  • Da primeira linha: x_1 + 2x_2 + x_3 = 0. Substituindo x_2:
x_1 + 2(-3x_3) + x_3 = x_1 -6x_3 + x_3 = x_1 -5x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 5x_3.
Tomando x_3=t como parâmetro livre, obtemos a solução geral
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}5 \\[4pt] -3 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Isto confirma que o núcleo é gerado pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix} e tem dimensão 1.]

Passo 7

Resumo sobre a inversa: como vimos no Passo 3, \det(A)=0. Logo A não é invertível, isto é, a inversa não existe. (Explicação rápida: inversa \Leftrightarrow determinante não nulo; quando \det=0 linhas/colunas são linearmente dependentes, impedindo uma inversa.)

Resposta

\text{posto}(A)=2
\text{nulidade}(A)=1
A inversa de A não existe.

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