Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir. \left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]
calcular a nulidade de A (dimensão do núcleo de A);
determinar a inversa de A, se ela existir.
As informações relevantes que temos são os elementos da própria matriz A. Nada mais foi dado.]
Passo 2
Antes de começar a manipular a matriz, um rápido lembrete conceitual (explicado devagarinho):
O posto de uma matriz A, \text{rank}(A), é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Em termos práticos, é o número de pivôs (linhas não nulas) que aparece quando fazemos eliminação de Gauss até a forma escalonada.
A nulidade de A, \text{nullity}(A), é a dimensão do espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} (o núcleo). Para uma matriz m\times n vale o teorema da dimensão (rank-nullity):
\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n.
No nosso caso n=3 (três colunas).
Sobre inversa: uma matriz quadrada A é inversível (tem inversa) se, e somente se, \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0 a matriz é singular e não tem inversa.
Vou primeiro calcular o determinante para checar se a inversa existe; depois faço eliminação para determinar o posto e o núcleo.
Passo 3
Cálculo do determinante de A por expansão de Laplace na primeira linha (mostrar passo a passo):
Conclusão: \det(A)=0. Isso já diz que A é singular e, portanto, não tem inversa. Mas ainda precisamos do posto e da nulidade.]
Passo 4
Agora vamos fazer eliminação de Gauss para encontrar o posto e o núcleo. Escrevo a matriz A e realizo operações elementares com explicação de cada passo (operações que preservam dependência linear entre linhas):
Temos exatamente dois pivôs (colunas com pivô): na coluna 1 (linha 1) e na coluna 2 (linha 2).
A terceira linha é nula, então não há pivô na coluna 3.
Portanto o posto é \text{rank}(A)=2.]
Passo 5
Com o posto encontrado, aplico o teorema rank-nullity para obter a nulidade:
\text{nullity}(A)=n-\text{rank}(A)=3-2=1.
Isto significa que o espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem dimensão 1 (há um parâmetro livre).
Passo 6
Vou encontrar explicitamente o núcleo (isso ajuda a entender a nulidade e é útil na prova). A forma escalonada deu os sistemas (ler linhas como equações):
Da segunda linha: 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 3\cdot x_3 = 0, isto é
x_2 + 3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -3x_3.
Da primeira linha: x_1 + 2x_2 + x_3 = 0. Substituindo x_2:
Isto confirma que o núcleo é gerado pelo vetor \begin{pmatrix}5\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix} e tem dimensão 1.]
Passo 7
Resumo sobre a inversa: como vimos no Passo 3, \det(A)=0. Logo A não é invertível, isto é, a inversa não existe. (Explicação rápida: inversa \Leftrightarrow determinante não nulo; quando \det=0 linhas/colunas são linearmente dependentes, impedindo uma inversa.)
Resposta
\text{posto}(A)=2 \text{nulidade}(A)=1
A inversa de A não existe.