Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir.
\left[\begin{array}{rrr}0 & -2 & 4 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & -5\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}0 & -2 & 4\\[4pt]1 & 1 & -1\\[4pt]2 & 4 & -5\end{pmatrix}.
O enunciado pede:
  • calcular o posto de A;
  • calcular a nulidade de A (dimensão do núcleo de A);
  • calcular a inversa A^{-1}, se ela existir.]

Passo 2

Breve explicação das ideias que vou usar (sem pular etapas):
  • O posto de uma matriz A é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (ou linhas). Para uma matriz 3\times3, o posto \operatorname{rank}(A) pode ser 0,1,2 ou 3.
  • A nulidade é a dimensão do núcleo (espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}). A Teorema do Posto-Nulidade diz que, para uma matriz m\times n,
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=3.
  • Uma condição rápida e prática: para uma matriz quadrada 3\times3, se \det(A)\neq0 então A é invertível, o posto é 3 e a nulidade é 0. Vou calcular o determinante primeiro; depois, mesmo sabendo que é invertível, vou mostrar passo a passo a redução por linhas para encontrar A^{-1} explicitamente (isso ajuda a entender e é um jeito usual em prova).

Passo 3

Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha (mostrando as contas):
\det(A)=0\cdot C_{11}+(-2)\cdot C_{12}+4\cdot C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o menor correspondente. Então
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -5\end{pmatrix}=(-1)\big(1\cdot(-5)-(-1)\cdot2\big)=(-1)(-5+2)=(-1)(-3)=3,
mas atenção: a contribuição de a_{12} é a_{12}C_{12}=(-2)\cdot C_{12}=(-2)\cdot3=-6.
Para a_{13}=4,
C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\big(1\cdot4-1\cdot2\big)=4-2=2,
e a contribuição é 4\cdot2=8.
Somando as contribuições:
\det(A)=-6+8=2.
Como \det(A)=2\neq0, concluímos que A é invertível. Logo, imediatamente:
\operatorname{rank}(A)=3,\qquad \operatorname{nullity}(A)=3-3=0.
Mas ainda vou construir A^{-1} explicitamente por eliminação de Gauss para mostrar passo a passo.]

Passo 4

Método para achar A^{-1}: formar a matriz aumentada \big[A\mid I\big] e aplicar operações elementares por linhas até obter \big[I\mid A^{-1}\big]. Escrevo a aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 0 & -2 & 4 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 4 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Faço operações por linhas, explicando cada uma.
  1. Trocar R_1 com R_2 para ter pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 4 & -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminar abaixo do pivô da coluna 1: R_3\leftarrow R_3-2R_1:
    Cálculo coluna a coluna: 2-2\cdot1=0, 4-2\cdot1=2, -5-2\cdot(-1)=-5+2=-3. No bloco da direita: 0-2\cdot0=0, 0-2\cdot1=-2, 1-2\cdot0=1. Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].
  1. Trocar R_2 com R_3 para trabalhar com um pivô positivo na segunda linha:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
  1. Normalizar o pivô da segunda linha: R_2\leftarrow \tfrac{1}{2}R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & 0 & -1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].
  1. Eliminar coluna 2 nas outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1-R_2 (para zerar o 1 em posição (1,2)):
    R1 novo: colunas esquerdas 1,0,-1-(-\tfrac{3}{2})= -1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}. Bloco direito: [0,1,0]-[0,-1,\tfrac{1}{2}]=[0,2,-\tfrac{1}{2}].
  • R_3\leftarrow R_3+2R_2 (para zerar -2 em posição (3,2)):
    R3 novo: colunas esquerdas 0,0,4+2(-\tfrac{3}{2})=4-3=1. Bloco direito: [1,0,0]+2[0,-1,\tfrac{1}{2}]=[1,-2,1].
Assim obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0 & 2 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & 0 & -1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Continuo para zerar a terceira coluna fora do pivô R_3.
  1. Já temos pivô 1 em R_3 na coluna 3. Elimino nas outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1-\tfrac{1}{2}R_3. Calculo o bloco direito: [0,2,-\tfrac{1}{2}]-\tfrac{1}{2}[1,-2,1]=[0-\tfrac{1}{2},\,2-(-1),\,-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}]=[-\tfrac{1}{2},\,3,\,-1].
  • R_2\leftarrow R_2+\tfrac{3}{2}R_3. Bloco direito: [0,-1,\tfrac{1}{2}]+\tfrac{3}{2}[1,-2,1]=[0+\tfrac{3}{2},\,-1-3,\,\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}]=[\tfrac{3}{2},\,-4,\,2].
Depois dessas operações obtemos a forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{3}{2} & -4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora a parte esquerda é a identidade, e a parte direita é A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 3 & -1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
(Fica como checagem mental: multiplicando A por essa matriz obtém-se I; isso confirma os cálculos.)]

Passo 8

Interpretação final e conclusão (resumo didático, incentivo): já que \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível e seu posto é máximo ( 3); pela fórmula do posto-nulidade a nulidade é 0 (o único vetor em \ker(A) é o vetor nulo). Fiz passo a passo a eliminação de Gauss para obter A^{-1} explicitamente — se estiver com pressa na prova, calcular o determinante já basta para saber se a inversa existe; mas quando pedem a própria inversa, a técnica da matriz aumentada é direta e confiável.

Resposta

\operatorname{rank}(A)=3
\operatorname{nullity}(A)=0
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 3 & -1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -4 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

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