Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir. \left[\begin{array}{rrr}0 & -2 & 4 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 4 & -5\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A matriz fornecida é
calcular a nulidade de A (dimensão do núcleo de A);
calcular a inversa A^{-1}, se ela existir.]
Passo 2
Breve explicação das ideias que vou usar (sem pular etapas):
O posto de uma matriz A é a dimensão do espaço gerado por suas colunas (ou linhas). Para uma matriz 3\times3, o posto \operatorname{rank}(A) pode ser 0,1,2 ou 3.
A nulidade é a dimensão do núcleo (espaço solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}). A Teorema do Posto-Nulidade diz que, para uma matriz m\times n,
Uma condição rápida e prática: para uma matriz quadrada 3\times3, se \det(A)\neq0 então A é invertível, o posto é 3 e a nulidade é 0. Vou calcular o determinante primeiro; depois, mesmo sabendo que é invertível, vou mostrar passo a passo a redução por linhas para encontrar A^{-1} explicitamente (isso ajuda a entender e é um jeito usual em prova).
Passo 3
Calcular o determinante de A por expansão na primeira linha (mostrando as contas):
Mas ainda vou construir A^{-1} explicitamente por eliminação de Gauss para mostrar passo a passo.]
Passo 4
Método para achar A^{-1}: formar a matriz aumentada \big[A\mid I\big] e aplicar operações elementares por linhas até obter \big[I\mid A^{-1}\big]. Escrevo a aumentada inicial:
Eliminar abaixo do pivô da coluna 1: R_3\leftarrow R_3-2R_1:
Cálculo coluna a coluna: 2-2\cdot1=0, 4-2\cdot1=2, -5-2\cdot(-1)=-5+2=-3. No bloco da direita: 0-2\cdot0=0, 0-2\cdot1=-2, 1-2\cdot0=1. Resultado:
(Fica como checagem mental: multiplicando A por essa matriz obtém-se I; isso confirma os cálculos.)]
Passo 8
Interpretação final e conclusão (resumo didático, incentivo): já que \det(A)=2\neq0, a matriz é invertível e seu posto é máximo (3); pela fórmula do posto-nulidade a nulidade é 0 (o único vetor em \ker(A) é o vetor nulo). Fiz passo a passo a eliminação de Gauss para obter A^{-1} explicitamente — se estiver com pressa na prova, calcular o determinante já basta para saber se a inversa existe; mas quando pedem a própria inversa, a técnica da matriz aumentada é direta e confiável.