Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir.
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede três coisas: o posto, a nulidade e a inversa (se existir). A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Perguntas explícitas que vamos responder:
  • calcular o posto de A;
  • calcular a nulidade (dimensão do núcleo) de A;
  • determinar a inversa de A, caso exista.]

Passo 2

Teste de invertibilidade usando o determinante (fórmula e cálculo).
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é
\det = ad-bc.
No nosso caso a=1, b=2, c=1, d=2. Então
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 2 = 2-2 = 0.
Regra importante (que sempre vale): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o determinante for diferente de zero. Como \det(A)=0, concluímos que A é singular e, portanto, não tem inversa. (A fórmula geral da inversa para 2\times2 seria
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
mas aqui não podemos aplicá-la porque \det(A)=0.)]

Passo 3

Cálculo do posto (definição e verificação concreta).
Definição prática: o posto de A é a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas (ou pelas suas linhas) — isto é, quantas colunas (ou linhas) linearmente independentes existem.
As colunas de A são
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Observação óbvia: \mathbf{c}_2 = 2\mathbf{c}_1. Ou seja, as duas colunas são linearmente dependentes e apenas uma é independente. Portanto a dimensão do espaço coluna é 1. Logo
\text{posto}(A)=1.
(Alternativa correspondente: as linhas são idênticas, também indicando posto 1.)]

Passo 4

Cálculo da nulidade (definição, teorema e solução explícita do núcleo).
Definição: nulidade de A\) é a dimensão do espaço dos vetores \(x\) que satisfazem \(A x=0\) (o núcleo). Use o Teorema do Posto-Nulidade para matrizes \(m\times n\): \[\text{posto}(A)+\text{nulidade}(A)=n,
onde n é o número de colunas. Aqui n=2 e já encontramos \text{posto}(A)=1, então
\text{nulidade}(A)=2-1=1.
Para dar uma forma concreta ao núcleo, resolvemos A x=0. Escrevendo x=(x_1,x_2)^T, o sistema é
\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] x_1 + 2x_2 = 0, \end{cases}
que é uma única equação redundante. Daí x_1 = -2x_2\]. Tomando parâmetro \(t=x_2, obtemos as soluções
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2t\\[4pt] t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Portanto uma base do núcleo é \{(-2,1)^T\} e a nulidade é 1, consistente com o teorema.]

Passo 5

Conclusão rápida e um incentivo final: a matriz tem determinante zero, posto 1, nulidade 1 e não é invertível. Isso significa que em prova é rápido checar o determinante primeiro para saber se vale a pena procurar a inversa — se o determinante for zero, poupa tempo: não existe inversa. Você já fez o mais difícil; repita esse padrão em exercícios parecidos e vai ficando mais automático. Força aí — tá indo bem!

Resposta

\text{posto}(A)=1
\text{nulidade}(A)=1
\text{inversa: não existe (matriz singular, \(\det(A)=0)})

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